几何分布的定义以及期望与方差 几何分布（Geometric distribution ）是离散型概率分布。

其中一种定义为：在n 次伯努利试验中，试验k 次才得到第一次成功的机率。

详细的说，是：前k-1次皆失败，第k 次成功的概率。

公式：
它分两种情况：
1. 得到1次成功而进行，n 次伯努利实验，n 的概率分布，取值范围为『1，2，3，...』;
2. m = n-1次失败，第n 次成功，m 的概率分布，取值范围为『0，1，2，3，...』.
由两种不同情况而得出的期望和方差如下：
,
;
,。

概率为p 的事件A ，以X 记A 首次发生所进行的试验次数，则X 的分布列：
，
具有这种分布列的随机变量X ，称为服从参数p 的几何分布，记为X ~Geo (p )。

几何分布的期望
，方差。

高中数学教科书新版第三册（选修II ）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1）E p
ξ=
1，（2）D p p ξ=-12，而未加以证明。

本文给出证明，并用于解题。

（1
下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。

记
两式相减，得
91页阅读材料），推导如下：
相减，
（26页）。

对于上式括号中的式子，利用导数，关于q
利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。

例1.
一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取
解：
1，2，3，……，
k －1次均取到黑球，而第k 次取到白球，因此
例2. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为p （0<p<1）。

他有10发子弹，现对某一目标连续射击，每次打一发子弹，直到击中目标，或子弹打光为止。

求他击中目标的期望。

解：射手射击次数的可能取值为1，2，…，9，10。

k 次击中目标；若k ＝10，则表明他前9次都没击中目标，而第10
用倍差法，可求得
式的推导方法。

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