第十讲 二项分布及应用 随机变量的均值与方差知识要点1.事件的相互独立性(概率的乘法公式)设A 、B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． 2. 互斥事件概率的加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )． 3.对立事件的概率：若事件A 与事件B 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B )． 4.条件概率的加法公式：若B 、C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )5.独立重复试验：在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，即若用A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则 P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)…P (A n )． 注：判断某事件发生是否是独立重复试验，关键有两点(1)在同样的条件下重复，相互独立进行；(2)试验结果要么发生，要么不发生．6.二项分布：在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝Ck n p k·(1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．注：判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点(1)是否为n 次独立重复试验．(2)随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数． 7.离散型随机变量的均值与方差及其性质定义：若离散型随机变量X 的分布列为P (ξ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n .(1)均值：称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望． (2)方差：D (X )＝∑n i ＝1 (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根DX 为随机变量X 的标准差．(3)均值与方差的性质：(1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) 8.两点分布与二项分布的均值、方差变量X 服从两点分布： E (X )＝p ， D (X )＝p (1－p )； X ～B (n ，p )： E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p ) 典例精析例1.【2015高考四川，理17】某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐3名男生，2名女生，B 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队 （1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列和数学期望.例2．如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 ( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576例 3.(2013·山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率．(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．例 4.为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为23.(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛 中答题的个数ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．例 5.(2014·福建高考改编)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元．求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡．下面给出两种方案：方案1：4个球中所标面值分别为10元，10元，50元，50元；方案2：4个球中所标面值分别为20元，20元，40元，40元．如果你作为商场经理，更倾向选择哪种方案？例6．(13分)如图所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列、数学期望与方差．例7．(12分)某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．例8.【2015高考湖南，理18】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.例9.（2016 河北张家口市三模21）（本小题满分12分）设函数．(Ⅰ)若，求的单调区间；(Ⅱ)若当时，，求的取值范围．参考答案例1.【2015高考四川，理17】某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.【答案】（1）A中学至少1名学生入选的概率为.（2）X的分布列为：p153515321XX的期望为.【解析】（1）由题意，参加集训的男女生各有6名.参赛学生全从B中抽取（等价于A中没有学生入选代表队）的概率为. 因此，A中学至少1名学生入选的概率为.（2）根据题意，X的可能取值为1，2，3.，，，所以X的分布列为：p153515321X因此，X的期望为.例2．如图10－8－1，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为(B )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576 【答案】B至少有一个正常工作的概率为，则系统正常工作的概率为例3.(2013·山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率．(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．【尝试解答】 (1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－23×23＝827，P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－232×12＝427.所以甲队以3∶0胜利，以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4，由题意，各局比赛结果相互独立， 所以P (A 4)＝C 24⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12＝427.由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627.又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427，P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327， 故X 的分布列为所以EX ＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79.例4.为贯彻“激情工作，快乐生活”的理念，某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛，比赛分初赛和决赛两部分，为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲答题的正确率为23.(1)求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；(2)设选手甲在初赛 中答题的个数ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．【尝试解答】 (1)选手甲答3道题进入决赛的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233＝827，选手甲答4道题进入决赛的概率为C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232·13·23＝827， ∴选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率P ＝827＋827＝1627；(2)依题意，ξ的可取取值为3、4、5，则有P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫233＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133＝13，P (ξ＝4)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232·13·23＋C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132·23·13＝1027，P (ξ＝5)＝C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132·23＋C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132·13＝827， 因此，有∴Eξ＝3×13＋4×1027＋5×827＝10727.规律方法2求离散型随机变量的均值与方差的方法：(1)先求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解．(2)若随机变量X～B(n，p)，则可直接使用公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求解．例5.(2014·福建高考改编)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元．求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．(2)商场对奖励总额的预算是60000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡．下面给出两种方案：方案1：4个球中所标面值分别为10元，10元，50元，50元；方案2：4个球中所标面值分别为20元，20元，40元，40元．如果你作为商场经理，更倾向选择哪种方案？【解答】(1)设顾客所获的奖励额为X.①依题意，得P(X＝60)＝C11C13C24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，得X的所有可能取值为20,60.P(X＝20)＝C23C24＝12，P(X＝60)＝12，即X的分布列为所以顾客所获的奖励额的数学期望为E(X)＝20×12＋60×12＝40(元)．(2)对于方案1：设每位顾客获得的奖励额为X1元，则随机变量X1的分布列为P 162316∴数学期望E(X1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，方差D(X1)＝错误!＋错误!×(60－60)2＋错误!＝错误!.对于方案2：设顾客获得的奖励额为X2元，则X2的分布列为X2406080P 162316∴数学期望E(X2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，方差D(X2)＝错误!＋错误!×(60－60)2＋错误!＝错误!.根据预算，每个顾客的平均奖励额为60元，且E(X1)＝E(X2)＝60，D(X1)>D(X2)．因此，根据商场的设想，应选择方案2.例6.如图10－9－4所示，是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．图10－9－4(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列、数学期望与方差．【解】 (1)依题意及频率分布直方图知，0．02＋0.1＋x ＋0.37＋0.39＝1，解得x ＝0.12. (2)由题意知，X ～B (3,0.1)．因此P (X ＝0)＝C 03×0.93＝0.729，，0.027＝0.9×20.1×23C ＝2)＝X (P ，0.243＝20.9×0.1×13C ＝1)＝X (P 0.001.＝30.1×3C ＝3)＝X (P 故随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P0.7290.2430.0270.001X 的方差为D (X )＝3×0.1×(1－0.1)＝0.27.例7．某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图10－9－3记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：图10－9－3(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)若幸福度不低于9，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．【解】 (1)众数：8,6；中位数：8.75(2)由茎叶图可知，幸福度为“极幸福”的人有4人．，A 记为事件”极幸福“人是1，至多有”极幸福“个人是i 人中有3表示所取i A 设121140＝C14C212C316＋C312C316＝)1A (P ＋)0A (P ＝)A (P 则 ，故依14＝416的人的概率为”极幸福“人，抽到1人的样本数据中任意选取16从(3)14＝P 的人的概率”极幸福“人，抽到1题意可知，从该社区中任选 ξ的可能取值为0,1,2,32764＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫341413C ＝1)＝ξ(P ；2764＝3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34＝0)＝ξ(P 164＝3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14＝3)＝ξ(P ；964＝342⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1423C ＝2)＝ξ(P 所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P276427649641640.75＝164×3＋964×2＋2764×1＋2764×0＝Eξ 0.75.＝14×3＝Eξ，所以⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，14B ～ξ另解由题可知 例8. 【2015高考湖南，理18】某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）记事件｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝｛顾客抽奖1次获一等奖｝，｛顾客抽奖1次获二等奖｝，｛顾客抽奖1次能获奖｝，则可知与相互独立，与互斥，与互斥，且，，，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知，分别求得，，，，即可知的概率分布及其期望. 试题解析：（1）记事件｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝｛顾客抽奖1次获一等奖｝，｛顾客抽奖1次获二等奖｝，｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意，与相互独立，与互斥，与互斥，且，，，∵，，∴，，故所求概率为；（2）顾【考点定位】1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望.【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注.例9.【2015高考四川，理21】已知函数，其中.（1）设是的导函数，评论的单调性；（2）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解. 【答案】（1）当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.（2）详见解析. 【解析】（1）由已知，函数的定义域为，，所以.当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.（2）由，解得.令.则，.故存在，使得.令，.由知，函数在区间上单调递增.所以.即.【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想. 【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想. 【名师点睛】本题作为压轴题，难度系数应在0.3以下.导数与微积分作为大学重要内容，在中学要求学生掌握其基础知识，在高考题中也必有体现.一般地，只要掌握了课本知识，是完全可以解决第（1）题的，所以对难度最大的最后一个题，任何人都不能完全放弃，这里还有不少的分是志在必得的.解决函数题需要的一个重要数学思想是数形结合，联系图形大胆猜想. 在本题中，结合待证结论，可以想象出的大致图象，要使得在区间内恒成立，且在内有唯一解，则这个解应为极小值点，且极小值为0，当时，的图象递减；当时，的图象单调递增，顺着这个思想，便可找到解决方法.。