i=1
i=1
n
∑ =p2 n(n-1)
Ci-2 n-2
pi-2
qn-i+
i=2
n
∑ np
Ci-1 n-1
pi-1
qn-i-n2p2
i=1
=p2n(n-1)(p+q)n-2 +np(p+q)n-1 -n2 p2
=p2n(n-1)+np-n2p2
=np-p2 n
=np(1 -p). 二 、超几何分布
一批产品共 N件 , 其中有 M件不合格品 , 随机 取出的 n
件产品中 , 不合格数 X的概率分 布为 :
X0
1
2
3 … l-1
l
P
C0MCn N-M C1MCn N--1M C2MCn N--2M C3MCn N--3M
Cn N
Cn N
Cn N
Cn N
…
Cl M-1 Cn N+ -1M-lCl MCnN--lM
Cn N
CnN
其中 l=min(n, M).
ξ0
1
2
3 … n-1
n
P C0nqn C1npqn-1 C2np2 qn-2 C3np3qn-3 … Cn n-1 pn-1 q Cn npn
n
∑ E(ξ)= iCi npiqn-i i=0
∑n
=
iCi npiqn-i
i=1
n
∑ = nCi n--11piqn-i(利用预备公式 1可得 ) i=1
专 题 研 究
10 8 ZHUANTIYANJIU
二项分布 、超几何分布数学期望
与方差公式的推导
●韩晓东 (江苏省淮阴中 学 223002)
高中教材中 对二 项分布 、超 几何 分布数 学期 望与 方差 公式没有给出推 导过 程 , 现 笔者 给出 一推导 过程 仅供 读者 参考 .
∑l
E(x)=
i=0

iCi MCCn Nn N--iM
∑ =CMn N
l i=1
C C i-1 n-i M-1 N-M
=CMn NCn N--11(利用预备公式 3可得 )
=nNM.
∑l
V(x)=
i=0
i2 Ci MCCn Nn N--iM -
Mn2 N
∑ =CMn N
l i=1
iCi M--11
Cn-i N-M
n
∑ =np Ci n--11pi-1 qn-i i=1
=np(p+q)n-1
=np.
V(ξ)=Eξ2 -(Eξ)2
n
∑ =
i2 Ci npiqn-i-n2p2
i=0
n
∑ =
niCi n--11piqn-i-n2 p2
i=1
n
n
∑ ∑ =n (i-1)Ci n--11piqn-1 +n Ci n--11piqn-i-n2p2
预备公式 1 iCi n=nCi n--11 (n≥ 1), 利用组合数计算公式即可证明 . 预备公式 2 Dξ=Eξ2 -(Eξ)2 , 证明见教材 . 预备公式 3 C0nCk m +C1nCk m-1 +C2nCk m-2 +… +Ck nC0m =Ck n+m(n, m, k∈ N＊, k≤n, k≤m), 利用 恒等 式 (1 +x)n+m =(1 +x)n(1 + x)m的二项展开式中 xk的系数相等可证 . 一 、二项分布 在独立重复实验中 , 某结 果发生 的概率 均为 p(不 发生 的概率为 q, 有 p+q=1), 那么在 n次 实验中 该结果 发生的 次数 ξ的概率分布为 :
-
Mn 2 N
∑ =CMn N
l i=1
(i-1)Ci M--11
Cn-i N-M
+
∑ CMn N
l i=1
C C i-1 n-i M -1 N-M
-
Mn2 N
∑ =CMn N(M
-1)
l i=2
C C i-2 n-i M -2 N-M
+
∑ CMn N
l i=1
C C i-1 n-i M -1 N-M
-
Mn2 N
=CMn N(M -1)Cn N--22 +CMn NCn N--11
-
Mn2 N
=nMN 1 -MN 1 -Nn--11 .
数学学习与研究 2010.11