第三章微分中值定理与导数的应用第二讲洛必达法则泰勒公式目的1.使学生掌握用洛必达法则求各种类型未定式极限的方法：2.理解泰勒中值泄理的涵：3.了解汽沏&c。

畀血("力,(1 +汙等函数的麦克劳林公式；4.学会泰勒中值定理的一些简单应用.重点1.运用洛必达法则求各种类型未泄式极限的方法：2.使学生理解泰勒中值定理的涵.难点使学生深刻理解泰勒中值左理的精髓.一、洛必达法则在第一章第七节中我们曾经讨论过无穷小的比较问题，并且已经知道两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，既使它存在也不能用商的极限运算法则去求解.而由无穷大与无穷小的关系知，无穷大之比的极限问题也是如此.在数学上，通常把无穷小之比的极限和无穷大之比的极限称为未定式，并分别简记为0和8 •由于在讨论上述未圮式的极限时，不能应用商的极限运算法则，这或多或少地都会给未立式极限的讨论带来一是的困难•今天在这里我们应用导数的理论推出一种既简便又重要的未定式极限的汁算方法，并着重讨论当2CI时，0型未左式极限的计算，关于这种情形有以下立理.定理1设(1)当时,函数了⑴及列对都若于零；⑵在点金的某去心邻域，/⑴及^⑴都存在，且那⑴吐°；也就是说，当zR⑴存在时，2。

去⑴也存在，且等于M也是无穷大.这种在一左条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确圧未左式极限的方法称为洛必达（L‘ Hospita 1）法则.下而我们给出定理1的严格证明：分析由于上述泄理的结论是把函数的问题转化为其导数的问题，显然应考虑微分中值立理.再由分子和分母是两个不同的函数，因此应考虑应用柯西中值定理.于是由条件⑴和⑵知，/⑴及应⑴在点虫的某一邻域是连续的.设兀是这邻域一点，则在以兀及山为端点的区间上，函数/〔X）和F&）满足柯西中值龙理的条件，因此在兀和a之间至少存在一点密，使得等式儿）川）-畑「心）应G）吩）-吒）应⑱（站兀与么之间）成立.对上式两端求兀To时的极限，注意到XTQ时匸则穷大时,证因为求极限与了⑷及用⑷的取值无关，所以可以假左lim又因为极限F'G）存在（或为无穷大），所以故沱理1成立.lim注若zm 0 ,,戸倉）仍为6型未左式，且此时了抵）和用,⑴能满足泄理1中/⑴和用⑴5F〔X)所要满足的条件，则可以继续使用洛必达法则先确立从而确总z F ⑴ z F 总）z F （X ）且这种情况可以继续依此类推.分析当兀TO 时，分子分母的极限皆为零，故属于6型不定式，可考虑应用洛必达法曲土二曲鉛单二曲土“ 解宀° sin x ® 伽 * z cos x&x +&~y注最后一个求极限的函数COSX 在X = 0处是连续的.注例2中我们连续应用了两次洛必达法则.x- sin xsin x 16x 6例 1 求 3° sin xlim例2求3°X 3（兀-1）宀[仗-] 7（" 1）[2x （z -1）72例3求解注（1）在例4中，如果我们不提出分母中的非零因子点，则任应用洛必达法则时需要 汁算导数L 斥（*一4）］,从而使运算复杂化.因此，任应用洛必达法则求极限时，特别要注 意通过提取因子，作等价无穷小代换，利用两个重要极限的结果等方法，使运算尽可能地得 到简化.课后请同学们自己学习教材136页上的例10 .r 2" In 2lim ---------（2）例4中的极限宀2 2x 已不是未左式，不能对它应用洛必达法则，否则要导致 错误的结果.以后在应用洛必达法则时应特别注意，不是未泄式，不能应用洛必达法则.对于X T3时的未泄式6有以下泄理.定理2设⑴当x s 时，函数了〔X ）及尺匕）都趋于零； ⑵当H N时，/⑴与廿⑴都存在，且F W*°；同样地，对于2。

（或XT3）时的未左式8,也有相应的洛必达法则. 定理3设⑴当XK （或X^OD ）时，函数了及月匕丿都趋于无穷大；（2）在点2的某去心邻域（或当切＞"时）.八力及貳⑴都存在，且片⑺"；In x lim例5求心如F存在（或为无穷大）•XT(L(3) E)存在（或为无穷大儿S>0)1-需KT8 $ ㈡v In7 1 &lim ----- = lim —= lim -------------- = 0“P £KT 代旳才―lim ^―@为正整数以＞ 0）例6求0事实上，例6中的M 不是正整数而是任何正数其极限仍为零.注由例5和例6可见，当兀T+＜0时，函数111兀、疋（n ＞0^ B 口＞°）都是无穷 大，但三个函数增大的“速度”是不一样的.戶 亿‘°）最快，其次是/依＞°）,最慢 的是血心0 QD除了 6和丛型未左式外，还有0. CO,03-03,0° 3r,00°型的未圧式.这些未龙式可转化0 8为6或0□型的未左式来讣算，下面我们通过实例来加以说明.0Da 型未立式去汁算.lim (sec z - tan A 例8求心号lim 才In x= lim 巴二 lim In 尤=limKT O 4" 1 ?r->0+ ?r->0+1因为於， lnx .-In Ax"lim lim —— _?r->0+ 100心旷10 0而 於是8型未左式， b 汇是0型未定式，所以0・a 型未龙式可以转化为0或分析因为鞍M =°所以賂X°）是0・°°型未定式.又lim ]n x =1In x=lim ?r->+v心-1）严=0lim in x 二-03x->04ZTT&«!lim sec = co lim tan. A = co Em (sec z - tan A)分析因为心号「X ，所以心号是8 — 8型未立式•又因为lim (sec 石-1an x) = lim f2号r 1 - sin A 0 0lim ---------- ——而心奇COSX是0型未立式，所以上述W-W型未左式可以转化为0型未立式来讣算.r ( 、1 _ $in 不，.co$ 入门lim l^sec x-tan x^= lim ------------- = lim —----- = 0解XT■专KT■专COSA sin x注讨论CO-OD型未定式的极限，一般都是通过提取公因式或通分的方法把函数由和的形式转化为商的形式，然后再去讨论.lim x 例9求2旷lim x= 02 —个幫指函数求极限的问题，由于"屮lim x ' &,所以心旷是一个0型未定式.又因为而鴨也"是0心型未定式,0 OD所以上述o°型未左式可以转化为6或o□型未左式来汁算.(2 Alim — arc tan x0 丿lim -arctan^ = l 応広=血分析由于iZ/ 2 Ylim — arctan z丿是一个严型未泄r(2 >lim I — arctan x咒丿0 OD-r-«y-»-KD而丿是° •⑷型未左式，所以上述严型未左式可以转化为°或8型未左式来讣算.r(2 )lim — arctan x解兀/由于1 sin. x1- sm x=lim ------------2% cosx? 21lim例11求心&lim 石=4OD lim _ 二 0limo分析 由于心我，,所以心&是一个°3型未左式.又因为丄lim 抄 丁 -lim 尤不=总归协・ 曲—lnx 0 —心如 ，而是0・3型未泄式，所以上述⑷卩型未泄式可以转化为o或8型未定式来计算.z lim 扫lim =&^' 解xg由于r 1.r Inx .. 1lim —In A = lim -------- = lim — ★今2 X #T4<o x x所以030・CO ,（A19 >ra°型未左式向6或启型未立式的转化可形式地表示为:0 - co =0 00- co8 0D丁二10303或90° = 」lnOe= /9二戶（或历）;9r = 严】=1 严二戶 （或紀所以 lim xln XT ■母 2—arctan x JTlimlim (2—arctan z5—=lim -1+ x 2) arctan x 兀00°之°皿二尹9 =/（或戶）.最后我们指出，洛必达法则是求未泄式极限的一种方法.当泄理的条件满足时，所求的 极限当然存在（或为8），但当左理的条件不满足时，所求极限不一立不存在.也就是说，r /'Mr /Wlim —ryr lifU —当（KT8） 不存在时（无穷大的情况除外）、仍可能存在，见下而的例题.V A4-sin Alim -----------例12求心9 x ・03解这是一个0□型未立式，我们有r x+sin x lim- = r (x+sin x) r 1 + cosx lim -——~~— = limr 1 + COSAR A4-sin Alim -----------lim ------------由于上式右端极限29 1 不存在，所以未泄式29 X 的极限不能用洛必达法则lim+ sin A去求，但不能据此断怎极限29 X不存在.这时我们需要另辟新径，重新考虑这个极限.A 4-sin A〈sm Alim --------- 一 =lim 1 + 二 14-0=1 i A XT9 < x 丿x + sin xlim --------------由此可见极限29 X 是存在的. 二、泰勒公式把一个复杂的问题转化为一个简单的问题去研究是我们研究复杂问题时经常采用的方 法，那么对于一个复杂的函数，为了便于研究，我们也希望用一些简单的函数来近似表达.说 到简单函数，我们想到了用多项式表示的函数，它的运算非常简单.那么是否任意一个函数 都可以用多项式去近似表达呢？关于这个问题我们曾经在微分近似汁算中讨论过.设函数 了匕）在％点的某个邻域可导，且7［心）工0,则在该邻域/G ）爲（％） + /让）0_兀0）用上述b -心）的一次多项式去近似表达函数/（X ）存在两点不足：（1）精确度不高，它所产生的误差仅是比b-勺）髙阶的无穷小： （2）用它做近似计算时，不能具体估算岀误差大小.因此，在一些精度要求较髙且要求估计误差的问题中，上述近似表达是满足不了要求的.这时我们就想，是否可以找到一个关于（"忌）的更高次多项式去近似地表达函数/⑴，从而使误差变得更小呢？这就是下面我们要解决的问题.设函数/（X）在含有％的某个开区间具有直到力+1阶的导数，并设用于近似表达函数了⑴的多项式为P血）二吗+勺（—％）+勺0—对冉勺广（1）既然我们要用久⑴去近似地表达了⑴，自然要求久⑴在可处的函数值及它的直到襁阶的导数在勺处的值依次与/仇），广（心），・・・，/叫厲）相等，即...,卅（勺）二严）（心）.这样我们就得到了如下刀+i个等式2q =/”比）,...,灯耳二严Go）,即…广比）厲一严）阳宓二川心）r严广亿），勺=丁\ ...「厂将所求得的多项式久⑴的系数％,勺，…，外代入⑴式，得（2）下而的泰勒（Taylor）中值左理告诉我们，多项式（2）就是我们要找的多项式，并且用它去近似表达函数f （x）,其误差的确变小了.泰勒中值定理若函数f（x）在含有X。