即
lim f (x) lim f (x) .
F ( x)
F ( x)
例如, lim x sin x
lim 1 cos x
x x
x 1
极限不存在
lim (1 sin x) 1
x
x
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3) 有时用洛必达法则并不简单 .
3
x 0 时，
2
ln(1 x) ~ x
1 cos x 2
复习
一、拉格朗日中值定理
若 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 内可导，那么
至少存在一点 或
使 f ( ) f (b) f (a).
ba
f (x0 x) f (x0) f (x0 x) x (0 1).
例. P134：7，14.
拉氏 目录 上页 下页 返回 结束
解决方法:
000通分源自转化0 取倒数取对数
0
转化
转化
1
0
例4. 求 lim xn ln x (n 0).
x0
解: 原式
lim
x0
ln x xn
洛
lim
x0
n
1 x
xn1
lim ( xn ) 0 x0 n
0 型
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0
00
通分
转化
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
例5. 求 lim (sec x tan x).
分析:
原式
1
lim
3sin
x
x2
cos
1 x
1
(3
0)
2 x0
x
2
4) 用洛必达法则时，要注意技巧，往往要结合无穷 小代换.
说明3) 目录 上页 下页 返回 结束
例2.
1
6
分析:
原式
lim
x0
cos
x x
(x sin 2
sin x
x)
lim
x0
x
sin x3
x
sin x ～ x
lim cos x 1
x0
洛
lim 1
x0
cos 3x2
x
lim
x0
1 2
x2
3x2
1 6
1
cos
x
～
1 2
x
2
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例3.
ln(1 x x2 ) ln(1 x x2 ) lim
x0
sec x cos x
解: 原式 = lim ln[(1 x2 )2 x2 ] x0 sec x cos x
二、几个初等函数的麦克劳林公式
三、泰勒公式的应用
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一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) y
y f (x)
x 的一次多项式
p1(x)
特点:
f (x0 ) f (x0 )
O x0 x x
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
u 0时 ln(1 u) ~ u
lim ln (1 x2 x4 ) lim x2 x4 x0 sec x cos x x0 sec x cos x
洛
lim
2x 4x3
x0 sec x tan x
lim
x0
x sin
x
2 sec2
4x2 x 1
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
三、其他未定式:
2 !a2 n(n 1)an (x x0 )n2 n!an
a0 pn (x0 ) f (x0 ),
a1 pn (x0) f (x0),
a2
1 2!
pn
(
x0
)
1 2!
f
(x0),
, an
1 n!
pn(n)
(
x0
)
1 n!
f
(n) (x0 )
故
pn (x)
f (x0 )
f (x0)(x x0)
1 2!
f
( x0
)(x
x0 )2
1 n!
f (n) (x0 )(x x0 )n
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2. 余项估计
令 Rn (x) f (x) pn (x)(称为余项) , 则有
Rn (x0 ) Rn (x0 ) Rn(n) (x0 ) 0 Rn (x)
(x x0 )n1
Rn (x) Rn (x0 ) (x x0 )n1 0
(n
Rn (1) 1)(1
x0
)n
(1 在 x0 与x 之间)
Rn (1) Rn (x0 ) (n 1)(1 x0 )n 0
Rn(2 ) (n 1)n(2 x0 )n1
(2 在 x0 与 1 之间)
Rn(n) (n ) Rn(n) (x0 ) Rn(n1) ( )
x
π 2
型
解: 原式 lim ( 1 sin x ) lim 1 sin x
x
π 2
cos x
cos x
x
π 2
cos x
洛
lim
cos
x
x
π 2
sin
x
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0
00
通分
转化
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
例6. 求 lim xx.
x0
00 型
解: lim xx lim exln x
(n 1) 2(n x0 ) 0 (n 1) !
( 在 x0 与xn 之间)
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Rn (x) f (x) pn (x)
( 在 x0 与x 之间)
pn(n1) (x) 0, Rn(n1) (x) f (n1) (x)
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
二、洛必达法则:
(或 ) 函数之商的极限 转化 导数之商的极限
洛必达 目录 上页 下页 返回 结束
说明:
1) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如,
用洛必达法则
事实上
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2) 若 lim f (x)不存在 ( )时, 不能用洛必达法则 ! F ( x)
x0
x0
利用 例4
e01
例5 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
洛必达法则
型
f
g
1 g
1 f
1 g
1 f
00 ,1 , 0 型
0型 0 型
f g eg ln f
0 型
f
g
f
1
g
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第三节 泰勒公式
第三章
理论分析 目的－用多项式近似表示函数. 应用
近似计算
一、泰勒公式的建立
(
x
x0
)n1
( 在 x0 与x 之间)
当在 x0 的某邻域内 f (n1) (x) M 时
Rn (x)
M (n 1)!
x
x0
n1
Rn (x) o((x x0 )n ) (x x0 )
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泰勒(Taylor)中值定理 :
阶的导数 , 则当
时, 有
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0 )
如何估计误差 ?
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1. 求 n 次近似多项式
要求:
令 pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n
则 pn (x)
a1 2a2 (x x0 ) n an (x x0 )n1
pn (x)
pn(n) (x)