第三章微分中值定理与导数的应用欧阳光明（2021.03.07）第二讲洛必达法则泰勒公式目的 1．使学生掌握用洛必达法则求各种类型未定式极限的方法；2．理解泰勒中值定理的内涵；3．了解等函数的麦克劳林公式；4．学会泰勒中值定理的一些简单应用．重点 1．运用洛必达法则求各种类型未定式极限的方法；2．使学生理解泰勒中值定理的内涵．难点使学生深刻理解泰勒中值定理的精髓．一、洛必达法则在第一章第七节中我们曾经讨论过无穷小的比较问题，并且已经知道两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，既使它存在也不能用商的极限运算法则去求解．而由无穷大与无穷小的关系知，无穷大之比的极限问题也是如此．在数学上，通常把无穷小之比的极限和无穷大之比的极限称为未定式，并分别简记为和．由于在讨论上述未定式的极限时，不能应用商的极限运算法则，这或多或少地都会给未定式极限的讨论带来一定的困难．今天在这里我们应用导数的理论推出一种既简便又重要的未定式极限的计算方法，并着重讨论当时，型未定式极限的计算，关于这种情形有以下定理．定理 1 设(1) 当时，函数及都趋于零；(2)在点的某去心邻域内，及都存在，且；(3)存在(或为无穷大)，则．也就是说，当存在时，也存在，且等于；当为无穷大时，也是无穷大．这种在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式极限的方法称为洛必达(L’Hospital)法则．下面我们给出定理1的严格证明：分析由于上述定理的结论是把函数的问题转化为其导数的问题，显然应考虑微分中值定理．再由分子和分母是两个不同的函数，因此应考虑应用柯西中值定理．证因为求极限与及的取值无关，所以可以假定．于是由条件(1)和(2)知，及在点的某一邻域内是连续的．设是这邻域内一点，则在以及为端点的区间上，函数和满足柯西中值定理的条件，因此在和之间至少存在一点，使得等式(在与之间)成立．对上式两端求时的极限，注意到时，则．存在(又因为极限或为无穷大，所以)．故定理1成立．注若仍为型未定式，且此时和能满足定理1中和所要满足的条件，则可以继续使用洛必达法则先确定，从而确定和，即．且这种情况可以继续依此类推．例1 求．分析当时，分子分母的极限皆为零，故属于型不定式，可考虑应用洛必达法则．解.注最后一个求极限的函数在处是连续的．例2 求．解.注例２中我们连续应用了两次洛必达法则．例3 求．解.例4 求.解.注 (1) 在例4中，如果我们不提出分母中的非零因子，则在应用洛必达法则时需要计算导从而使运算复杂化．因此，在应用洛必达法则求极限时，特别要注意通过提取因子，作等价无穷小代换，利用两个重要极限的结果等方法，使运算尽可能地得到简化．课后请同学们自己学习教材136页上的例10 ．(2) 例４中的极限已不是未定式，不能对它应用洛必达法则，否则要导致错误的结果．以后在应用洛必达法则时应特别注意，不是未定式，不能应用洛必达法则．对于时的未定式有以下定理．定理2 设(1)当时，函数及都趋于零；(2) 当时，与都存在，且；(3) 存在(或为无穷大)，则．同样地,对于(或)时的未定式，也有相应的洛必达法则．定理3 设(1)当(或)时，函数及都趋于无穷大；(2)在点的某去心邻域内(或当时)，及都存在，且；(3)存在(或为无穷大)，则．例5 求.解.例6 求.解.事实上，例6中的不是正整数而是任何正数其极限仍为零．注由例5和例6可见，当时，函数都是无穷大，但三个函数增大的“速度”是不一样的，最快，其次是，最慢的是．除了和型未定式外，还有型的未定式．这些未定式可转化为或型的未定式来计算，下面我们通过实例来加以说明．例7 求．分析因为，，所以是型未定式．又因为，．是而型未定式，是型未定型未定式，所以式可以转化为型未定式去计算．或解.例8 求．分析因为，，所以是型未定式．又因为．而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为型未定式来计算．解．注讨论型未定式的极限，一般都是通过提取公因式或通分的方法把函数由和的形式转化为商的形式，然后再去讨论．例9 求.是一个幂指函数求极限的问题，由于，所以是一个型未定式．又因为，而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为或型未定式来计算．解.例10 求．分析由于，，所以是一个型未定式．又因为，而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为或型未定式来计算．解.由于,所以．例11 求.分析由于，，所以是一个型未定式．又因为，而是型未定式，所以上述型未定式可以转化为或型未定式来计算．解．由于，所以.型未定式向或型未定式的转化可形式地表示为：或；(或)；(或)；(或) ．最后我们指出，洛必达法则是求未定式极限的一种方法．当定理的条件满足时，所求的极限当然存在(或为)，但当定理的条件不满足时，所求极限不一定不存在．也就是说，当不存在时(无穷大的情况除外)，仍可能存在,见下面的例题．例12 求.解这是一个型未定式，我们有．由于上式右端极限不存在，所以未定式的极限不能用洛必达法则去求，但不能据此断定极限不存在．这时我们需要另辟新径，重新考虑这个极限．．由此可见极限是存在的．二、泰勒公式把一个复杂的问题转化为一个简单的问题去研究是我们研究复杂问题时经常采用的方法，那么对于一个复杂的函数，为了便于研究，我们也希望用一些简单的函数来近似表达．说到简单函数，我们想到了用多项式表示的函数，它的运算非常简单．那么是否任意一个函数都可以用多项式去近似表达呢？关于这个问题我们曾经在微分近似计算中讨论过．设函数在点的某个邻域内可导，且，则在该邻域内．用上述存在两点不足：的一次多项式去近似表达函数(1) 精确度不高，它所产生的误差仅是比高阶的无穷小；(2) 用它做近似计算时，不能具体估算出误差大小．因此，在一些精度要求较高且要求估计误差的问题中，上述近似表达是满足不了要求的．这时我们就想，是否可以找到一个关于的更高次多项式去近似地表达函数小呢？这就是下面我们要解决的问题．*欧阳光明*创编设函数 在含有 的某个开区间2021.03.07内具有直到数，并设用于近似表达函数 的多项式为阶的导. (1)既然我们要用 去近似地表达 ，自然要求 在 处的函数 值及它的直到 阶的导数在 处的值依次与 ， 相等，即，，… ，．这样我们就得到了如下 个等式，，,…,，即， 将所求得的多项式，，…,．的系数 ， ,…, 代入(1)式，得. (2)下面的泰勒(Ｔaylor)中值定理告诉我们，多项式(2)就是我们要找的多项式，并且用它去近似表达函数 f(x),其误差的确变小了．泰勒中值定理 若函数 f(x)在含有 x 的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)阶的导数，则对任意 x,有f(x)=*欧阳光明*创编.(3)2021.03.07其中*欧阳光明*创编2021.03.07，(4)这里 是在 与 之间的某个值．由(2)式和(3)式知，，现在只要证明即可． 证 由假设知，数，且( 介于 与 之间) 在 内具有直到 阶的导函数 与. 在以 及 为端点的区间上满足柯西中值定理的条件，故有同样，函数 与 足柯西中值定理的条件，故有( 介于 与 之间). 在以 及 为端点的区间上也满( 介于 与 之间).继续对函数 与在以 及 为端点的区间上应用柯西中值定理，如此做下去，经过 次应用柯西中值定理后，得( 介于 与 之间，因而也在 与 之间).*欧阳光明*创编2021.03.07*欧阳光明*创编2021.03.07定理证毕．泰勒中值定理告诉我们，以多项式 近似表达函数 时，其误差为．如果对某个固定的 ，当时，，则有误差估计式， 及由此可见，当时，误差． 是比高阶的无穷小，即上述结果表明，多项式 的次数 越大，(5) 越小，用去近似表达 的误差就越小，是比 差是可估计的．高阶的无穷小，并且误泰勒公式不仅在近似计算中有着广泛的应用，而且它在级数理论和数值计算中也起着重要的作用，同学们一定要深刻地理解它．到此我们所提出的问题就解决了．多项式(2)称为函数 按的幂展开的 次泰勒多项式，公式(3)称为 按的幂展开的带有拉格朗日型余项的 阶泰勒公式，而 为拉格朗日型余项．的表达式(4)称当 时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式( 介于 与 之间)． 因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广．*欧阳光明*创编2021.03.07*欧阳光明*创编2021.03.07在不需要余项的精确表达式时， 阶泰勒公式也可写成. (６) 的表达式(5)称为佩亚诺(Peano)型余项，公式(6)称为 按的幂展开的带有佩亚诺型余项的 阶泰勒公式． 在泰勒公式(3)中，如果取 ，则 在 0 与 之间．因此可令，从而泰勒公式变成简单的形式，即所谓带有拉格 朗日型余项的麦克劳林(Maclaurin)公式在泰勒公式(6)中，若取 公式为. (7) ，则带有佩亚诺型余项的麦克劳林由(7)和(8)可得近似公式.(8)误差估计式相应地变成.(9)例 1 写出函数 式．.(10)的带有拉格朗日型余项的 阶麦克劳林公*欧阳光明*创编2021.03.07*欧阳光明*创编解 因为2021.03.07，． 把这些值代入公式(7)，并注意到所以 ，便得. 由这个公式可知，若把 用它的 次泰勒多项式近似地表达为， 则所产生的误差为. 如果取 ，则无理数 的近似式为， 其误差例2 求 解 因为．当 时，可算出，其误差不超过 ．的带有拉格朗日型余项的 阶麦克劳林公式．,,，，*欧阳光明*创编,…,，,…,2021.03.07， 所以*欧阳光明*创编2021.03.07它们顺序循环地取四个数 ， ， ， ，于是令，按公式(7)得， 其中如果取 ，． ，则得近似公式这时误差为如果 分别取 和 ，则可得. 的 次和 次近似和，其误差的绝对值依次不超过 和．以上三个近似多项式及正弦函数的图形见图 4．由图 4 可见，当时，近似多项式的次数越高，其向函数逼近的速度就越快，这就是泰勒公式的精髓．类似地，我们还可以求出函数 日型余项的麦克劳林公式：和的带有拉格朗其中*欧阳光明*创编2021.03.07*欧阳光明*创编2021.03.07; ,其中；， 其中． 由以上带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式，可很容易的得到 相应地带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，请同学们课后自己写出 来． 以上这些常见函数的麦克劳林公式要求同学们一定要熟记，以 便在今后使用时方便． 例 3 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限． 分析 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式求极限，就是把极 限中所涉及到的不是关于 的多项式的函数，都用麦克劳林公式来 表示，然后求其极限．在利用麦克劳林公式计算极限时，自变量 的变化过程一定得是趋于零，否则保证不了麦克劳林公式对原始函 数的良好近似．*欧阳光明*创编2021.03.07*欧阳光明*创编在本问题中，由于分式的分母2021.03.07，因此我们只需要将分子中的 和 分别用带有佩亚诺型余项的三阶麦克劳林公式表示即可，其中，． 为什么 和 要展成三阶麦克劳林公式，而不展成其它阶 的麦克劳林公式呢？这是因为用麦克劳林公式将分子展成关于 的 多项式后,分子分母中 的最高次幂一定要相等，以便运算．这一点 同学们今后一定要注意．解 其中仍是比 高阶的无穷小，因为． 总结 由于两个多项式之比的极限比较容易计算，所以人们经常 利用泰勒公式把两个复杂函数之比的极限问题转化为多项式之比的 极限问题．*欧阳光明*创编2021.03.07。