第09讲认识三角形
变量相关的定义
1、变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量。

2、自变量和因变量。

（1）在某一变化过程中，有两个变量，当其中一个变量在一定范围内取一个数值时，另一个变
量也有唯一一个数值与其对应，通常把前一个变量叫做自变量，后一个变量叫做因变量。

（2）自变量和因变量的区别和联系。

联系：两者都是某一变化过程中的变量，两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以互相转化，比如当路程一定时，时间随速度的变化而变化，这时速
度为自变量，时间为因变量。

而当速度一定时，路程随时间的变化而变化，这时时间为自变量，路程为因变量。

区别：因变量随自变量的变化为变化。

3、常量：在变化过程中数值始终不变的量。

生活中还有哪些三角形形状的物体呢，简单举例
知识要
点
一
记作△
ABC ，三个字母之间并无顺序关系。

△ABC
的三边，有时也用,,a b c 来表示。

如图，顶点A 、B 、C 所对的边分别是BC 、AC 、AB ，分别用,,a b c 来表示。

典例分析
例1、如图，图中以AB 为边的三角形的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5
D ．6
例2、下列说法中正确的是（ ）
A ．三角形的内角中至少有两个锐角
B ．三角形的内角中至少有两个钝角
C ．三角形的内角中至少有一个直角
D ．三角形的内角中至少有一个钝角
例3、已知：如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠C ＝∠BDC ，∠A ＝∠ABD ，则∠A ＝______ 例4、△ABC 中，若∠A ＋∠C ＝2∠B ，则∠B ＝______．
例5、△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，则它们的相应邻补角的比为____ __
例6、如图，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，下列结论错误的是（ ） A ．图中有三个直角三角形 B ．∠1=∠2 C ．∠1和∠B 都是∠A 的余角
D ．∠2=∠A
例6、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AC≠AB ，AD 是斜边BC 上的高，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，则图中与∠C （∠C 除外）相等的角的个数是（ ）
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
举一反三
1、如图中三角形的个数是（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
2、图中三角形的个数是（ ）
A ．8个
B ．9个
C ．10个
D ．11个
3、如图，△ABC 中，∠A=46°，∠C=74°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，那么∠BDC 的度数是（ ）
A ．76°
B ．81°
C ．92°
D ．104°
4、如图，已知△ADC 中，∠A=30°，∠ADC=110°，BE ⊥AC ，垂足为E ，求∠B 的度数
学霸说：
（1）任意一个三角形，最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角。

（2）判断一个三角形的形状，只需看最大内角是什么角即可。

5、如图，CE平分∠ACD，F为CA延长线上一点，FG∥CE交AB于点G，∠ACD=100°，∠AGF=20°，求∠B的度数
三角形三边关系及三角形的“三线”
例1、下列各组线段能组成一个三角形的是( )．
A．3cm，3cm，6cm B．2cm，3cm，6cm
C．5cm，8cm，12cm D．4cm，7cm，11cm
例2、若三角形的两边长分别为3和5，则其周长l的取值范围是( )
A．6＜l＜15 B．6＜l＜16
C．11＜l＜13 D．10＜l＜16
例3、三角形的下列四种线段中一定能将三角形分成面积相等的两部分的是（）
A．角平分线B．中位线C．高D．中线
例4、下列说法中，其中正确的有（）
①三条线段组成的图形叫做三角形；
②三角形的角平分线是射线；
③三角形的三条高所在的直线相交于一点，这一点不在三角形的内部，就在三角形的外部；
④三角形的三条中线相交于一点，且这点一定在三角形的内部．
A．4个B．3个C．2个D．1个
例5、如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，
则∠B=．
例6、已知：如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，
BF与AE交于O，若∠ABC=40°，∠C=60°，求∠DAE、∠BOE的度数
1、若三角形三条边的长分别是7，10，x ，求x 的范围。

2、已知：如图，P 是△ABC 内一点．请想一个办法说明AB ＋AC ＞PB ＋PC
3、如图所示，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别为边BC 、AD 、CE 的中点，且△ABC 的面积是4cm 2，则阴影部分面积等于（ ） A ．2cm 2 B ．1cm 2 C ．0.25cm 2 D ．0.5cm 2
4、已知△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，BE 平分∠ABC ，分别交CD 、AC 于点F 、E ，求证：∠CFE=∠CEF
学霸说：
（1）由三角形的中线找到等量关系进行代换，可以得到线段、面积之间的倍数关系。

（2）根据解题需要，三角形的角平分线可以表示为相等关系、倍数关系和分数关系，应灵活运用。

课堂闯关
初出茅庐
1、如图，AD是△ABC边BC的中线，E、F分别是AD、BE的中点，若△BFD
的面积为6，则△ABC的面积等于（）
A．18 B．24 C．48 D．36
2、已知等腰三角形的周长为16，且一边长为3，则腰长为（）
A．3 B．10 C．6.5 D．3或6.5
3、△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度数之比是1：2：3，则△ABC的形状是（）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
4、在△ABC中，∠A=∠B=∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的角平分线，求∠DCE的度数
5、在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线．
（1）求∠DCE的度数．
（2）若∠CEF=135°，求证：EF∥BC
优学学霸
1、已知：如图△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，
CF交于一点G，BD=2DC，S△BGD=8，S△AGE=3，则△ABC的面积是（）
A．25 B．30 C．35 D．40
2、△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．
（1）∠B=30°，∠C=70°，求∠EAD的大小．
（2）若∠B ＜∠C，则2∠EAD与∠C﹣∠B是否相等？若相等，说明理由．
3、小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠
ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F
（1）M为边AC上一点，则BD、MF的位置是．请你进行证明．
（2）M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是．请你进行证明．（3）M为边AC延长线上一点，猜想BD、MF的位置关系是．请你进行证明．
1、【2015•深圳市校级期中】如图，已知在△ABC 中，两条角平分线BE 和CD 相交于点F ， 若∠BFC=116°，求∠A 的度数．
2、【2016•深圳校级期末】一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（ ） A ．90° B ．100° C ．130° D ．180°
1、在△ABC 中，AB=4，AC=7，则△ABC 的周长L 的取值范围是
2、如图，在△ABC 中，∠ADC=110°，AD 、CD 分别平分∠BAC ，∠ACB ，则∠ABC=
3、在△ABC 中，∠ABC=∠C ，∠A=80°，进行如下操作：
①以点B 为圆心，以小于AB 长为半径作弧，分别交BA 、BC 于点E 、F ； ②分别以E 、F 为圆心，以大于EF 长为半径作弧，两弧交于点M ； ③作射线BM 交AC 于点D ， 则∠BDC 的度数为（ ） A ．100° B ．65°
C ．75°
D ．105°
套路揭密：
（1）求角度中，角平分线能够为我们带来角的相等、倍数等关系，高线能够带来角互余的关系，然后在三角形中利用内角和定理，就可以很轻松求出角度。

4、在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B﹣∠C 中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5、如图，O为△ABC中∠ABC与∠ACB的平分线的交点，分别过点B、C作PB⊥BO，PC⊥CO，若
∠A=70°，求出∠P的度数．
6、如图，已知△ABC中，∠B=60°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，且∠DAE=10°，求
∠C的度数．。