山东省泰安市泰山中学2020届高三数学三模试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}2450,10A x x x B x x A B =--<=->⋂=，则 A.()1-∞，B.()11-，C.()15-，D.()05，2.设复数z 满足()21=52i z i -+，则z 的虚部为 A.1-B.i -C.52D.52i3.已知函数()24x xf x =-，则函数()11f x x -+的定义域为A.(),1-∞B.(),1-∞-C.()(),11,0-∞-⋃-D.()(),11,1-∞-⋃-4.已知抛物线2:4C x y =的准线恰好与圆()()()222:340M x y r r -+-=>相切，则r = A.3B.4C.5D.65.设p ：实数x 满足()()21005x a x a a -++≤<<其中，q ：实数x 满足ln 2x <，则p 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为2的正方形，上棱32EF =，EF//平面ABCD ，EF 与平面ABCD 的距离为2，该刍甍的体积为A.6B.113 C.314 D.12 7.函数()[]3cos sin 2xf x x x ππ=+-在，的图象大致为8.如图，已知双曲线22212x y C a a -=+：的左、右焦点分别为12,,F F M 是C 上位于第一象限内的一点，且直线2F M y与轴的正半轴交于A 点，1AMF ∆的内切圆在边1MF 上的切点为N ，若=2MN ，则双曲线C 的离心率为A.52B.5C.2D.2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.已知向量()()()2,1,3,2,1,1a b c =-=-=，则 A.//a bB.()a b c +⊥C.a b c +=D.53c a b =+10.某院校教师情况如下表所示关于2016年、2017年、2018年这3年该院校的教师情况，下面说法正确的是 A.2017年男教师最多B.该校教师最多的是2018年C.2017年中年男教师比2016年多80人D.2016年到2018年，该校青年年龄段的男教师人数增长率为220% 11.若()()20092320090123200912x a a x a x a x a x x R -=++++⋅⋅⋅+∈，则A.01a =B.20091352009312a a a a ++++⋅⋅⋅+=C.20090242008312a a a a -+++⋅⋅⋅+=D.123200923200912222a a a a +++⋅⋅⋅+=- 12.已知函数()()cos cos nxf x n N x*=∈，则下列结论正确的是 A.()f x 是周期函数B.()f x 的图象是轴对称图形C.()f x 的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.()f x n ≤三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线y x b =+是曲线3xy e =+的一条切线，则b =▲. 14.已知()2sin 2cos sin ,cos 222ππααβαβαβ⎛⎫==∈-+= ⎪⎝⎭且，，，则▲. 15.甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若每个同学可以自由选择，则不同的选择种数是▲；若甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是▲.（用数字作答）（本题第一空2分，第二空3分）16.已知球O 是正三棱锥P ABC -的外接球，3,23AB PA ==，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是▲.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）在①2n S n n =+，②353516,42a a S S +=+=，③171,56n n a n S a n++==这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，_________，12112,2a ab a b ==. 求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.（12分）ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos2cos22sin sin 1A B A B ++=cos2C -.（1）求角C.（2）设D 为边AB 的中点，ABC ∆的面积为2，求2CD 的最小值.19.（12分）在四棱锥P ABCD PAB -∆中，为等边三角形，四边形ABCD 为矩形，E 为PB 的中点，DE PB ⊥.（1）证明：平面ABCD ⊥平面PAB.（2）设二面角A PC B --的大小为α，求α的取值范围.20．(12分)某水果批发商经销某种水果(以下简称A 水果)，购入价为300元/袋，并以360元／袋的价格售出，若前8小时内所购进的A 水果没有售完，则批发商将没售完的A 水果以220元／袋的价格低价处理完毕(根据经验，2小时内完全能够把A 水果低价处理完，且当天不再购进)．该水果批发商根据往年的销量，统计了100天A 水果在每天的前8小时内的销售量，制成如下频数分布条形图．现以记录的100天的A 水果在每天的前8小时内的销售量的频率作为A 水果在一天的前8小时内的销售量的概率，记X 表示A 水果一天前8小时内的销售量，n 表示水果批发商一天批发A 水果的袋数． (1)求X 的分布列；(2)以日利润的期望值为决策依据，在1516n n ==与中选其一，应选用哪个?21．(12分)已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原原点，点O 到直线AB的距离为55，OAB ∆的面积为1． (1)求榷圆的标准方程；(2)直线l 与椭圆交于C ，D 两点，若直线//l 直线AB ，设直线AC ，BD 的斜率分别为12,k k 证明：12k k ⋅为定值．22．(12分)已知函数()ln 1f x x ax =-+有两个零点． (1)求a 的取值范围；(2)设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：()121f x x a '<-．数学参考答案1.B 【解析】本题考查集合交集运算，考查运算求解能力. 因为()()()1,5,,11,1A B A B =-=-∞⋂=-，所以.2.C 【解析】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力.()()22525252255122221i i ii i z i i i i +++-+=====-+---，则z 的虚部为52. 3.D 【解析】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力. 令241xxx><，即2，解得()10.1f x x x -<+若有意义，则10,10x x -<⎧⎨+≠⎩，即(),1x ∈-∞-⋃()1,1-.4.C 【解析】本题考查抛物线的标准方程及直线与圆的位置关系，考查数形结合的思想. 抛物线2:4C x y =的准线方程为1y =-，则415r =+=. 5.A 【解析】本题考查充分必要条件，不等式的解法，考查运算求解能力，逻辑推理能力. 设(){}()(){}{}{21010,ln 20A x x a x a x x x a B x x x x =-++≤=--≤=<=<<}2e ，因为05a <<，所以A B ⊂≠，所以p q 是的充分不必要条件. 6.B 【解析】本题考查空间几何体的体积，考查空间想象能力和运算求解能力.如图，作FN//AE ，FM//ED ，则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，则该刍甍的体积为13232F MNBC ADE MNF MNBC V V S S --+=⋅+直截面1322311=222=32223⨯⎛⎫⨯⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭. 7.A 【解析】本题考查函数图象的应用，考查逻辑推理能力.由()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数，排除B,D ；由333,3322f ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32213332f ππ⎛⎫⎛⎫=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知233f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合图象可知选A. 8.D 【解析】本题考查双曲线的定义以及内切圆的应用，考查数形结合的思想以及转化与化归的思想.设1AMF ∆的内切圆在边1,AF AM 的切点分别为E,G ，则11,,AE AG EF F N ==MN MG =.又122MF MF a -=，则122EF MG MF a +-=，由对称性可知12AF AF =，化简可得MN a =，则2,24a a =+=，所以双曲线C 的离心率为2=9.BD 【解析】本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力.()()()1,1,110a b a b c a b c +=-+⋅=-+=+⊥，故.设()1212,c a b R λλλλ=+∈，则()()()()1212121,12,13,223,2λλλλλλ=-+-=--+，则1212231,21,λλλλ-=⎧⎨-+=⎩所以125,3,λλ=⎧⎨=⎩所以53c a b =+.10.BCD 【解析】本题考查统计知识，考查数据处理能力.由题意知，2018年的男教师最多，A 错误；将表中各年度人数横向求和可知，2018年共有1720人，为人数最多的一年，B 正确；2017年中年男教师比2016年多32024080-=（人），故C 项正确；2016~2018青年男教师增加了220人，增长率为220100220%÷=，故D 正确. 11.ACD 【解析】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解的能力.由题意，当20090011,x a ===时， 当1x =时，()20090123200911a a a a a ++++⋅⋅⋅+=-=-，当1x =-时，2009012320093a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=，所以200920091352009024********,22a a a a a a a a +-+++⋅⋅⋅+=-+++⋅⋅⋅+=，2200912200912200922009111222222a a a a a a ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当2200901220091111=2222x a a a a ⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，0所以2200912200901111222a a a a ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.12.AB 【解析】 由于()()()()()()cos 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos n x n nx n nxf x f x x x xπππππ+++====++，所以()f x 是周期函数，故A 正确；由()()()()cos cos cos cos nx nxf x f x x x--===-，从而()f x 为偶函数，其图象关于0x =对称，故B正确；由于()()()()()()2cos cos cos cos cos cos 0nxn n nx nx x f x f x x x n πππ⎧-⎪+-=+=⎨-⎪⎩为奇数，为偶数，从而当n 为奇数时，()f x 的图象不一定关于点02π⎛⎫⎪⎝⎭，对称，故C 不正确； 当()22cos 11122cos cos cos cos 5x n f x x x x x -===-=-时，，令，则此时()2f x >，故D 不正确.13.4【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力.设()3x f x e =+，切点为()030,x x e +，因为()xf x e '=，所以0001,3x x e b e x ==+-，4b =则.14.14-【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解的能力. 由12sin 2cos 4sin cos cos ,sin ,224ππαααααααα⎛⎫==∈-=∈ ⎪⎝⎭，则因为，，故0,.cos sin =242ππαβαβ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭由，所以()1cos 2sin 4αβα+=-=-. 15.243；30【解析】本题考查排列组合的应用，考查逻辑推理能力. 若每个同学可以自由选择，由乘法原理可得，不同的选择种数是53243=；因为甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，所以有2、2、1和3、1、1两种分配方案.当分配方案为2、2、1时，共有233318C A =种； 当分配方案为3、1、1时，共有132312C A =种；所以不同的选择和数是181230+=. 16.94π【解析】本题考查空间几何体的外接球，考查空间想象能力. 设三棱锥的外接球半径为R ，正三角形ABC 的外接圆圆心为O '，则()223PO R R '=+-=，解得2,1R OO '==，因为过E 作球O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面圆的半径最小，所以当截面与OE 垂直时，截面圆的面积有最小值.在Rt CO O CO O E '''∆==中，在Rt EO O '∆中，2OE ==，所以32r ==，所以截面面积294S r ππ==. 17.解：选①当111,2n a S ===时，……………………………………………………………………1分 当122n n n n a S S n -≥=-=时，，………………………………………………………2分 又1n =满足2n a n =，所以2n a n =.……………………………………………………4分 设{}n b 的公比为q ，又因为12121122,4,2a a a ab a b ====，由，…………………5分 得12,2b q ==，所以2nn b =.……………………………………………………………6分由数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，…………………………………………7分 可知()21111111n S n n n n n n ===-+++，………………………………………………8分 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋅⋅⋅+-=-++，…………………9分 故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++.……………………………………………10分 选②设公差为d ，由1353512616,16,4281342,a d a a S S a d +=⎧+=+=⎨+=⎩，得……………………2分解得12,2,a d =⎧⎨=⎩所以22,n n a n S n n ==+.…………………………………………………4分设{}n b 的公比为q ，又因为12121122,4,,2a a a ab a b ====由，……………………5分 得12,2b q ==，所以2nn b =.……………………………………………………………6分由数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，…………………………………………7分 可知()21111111n S n n n n n n ===-+++，………………………………………………8分 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋅⋅⋅+-=-++，…………………9分故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++.……………………………………………10分 选③ 由1111111n n n n n n a n a a a aa a n a n n n n +++====+，得，所以，即，………………………2分 7411728562S a a a ====，所以，……………………………………………………3分所以22,n n a n S n n ==+.…………………………………………………………………4分设{}n b 的公比为q ，又因为12121122,4,,2a a a ab a b ====由，……………………5分 得12,22nn b q b ===，所以.……………………………………………………………6分由数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，…………………………………………7分 可知()21111111n S n n n n n n ===-+++，………………………………………………8分 数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋅⋅⋅+-=-++，…………………9分 故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++.……………………………………………10分 18.解：（1）由已知可得故22212sin 12sin 2sin sin 112sin A B A B C -+-+=+-，…2分 得222ab a b c =+-，………………………………………………………………………3分所以2221cos =223a b c C C ab π+-==，所以.……………………………………………5分 （2）由113sin 2=,22ABC S ab C ab ab ∆==，即所以.…………………………7分 由()()22211224CD CA CB CD CA CB CA CB =+=++，所以，……………………9分 则()()()222221112cos 2444CD b a ab C b a ab ab ab =++=++≥+=a b=时取等号，所以2CD 的最小值为…………………………………………12分19.（1）证明：连接AE ，因为PAB ∆为等边三角形，所以AE PB ⊥，……………1分 又,DE PB AE DE E PB ⊥⋂=⊥，所以平面ADE ，…………………………………2分所以PB AD ⊥.……………………………………………………………………………3分 因为四边形ABCD 为矩形，所以AD AB AB BP B ⊥⋂=，且，所以AD ⊥平面PAB.………………………………………………………………………4分 因为AD ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面PAB.…………………………………5分 （2）解：以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，不妨设()10,1,PB AB PA C n ===，，则()()10,0,0,,0,0,1,022A P B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,由空间向量的坐标运算可得313131,,,,,0,,,0222222PC n AP BP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.……………………………………………6分 设平面BPC 的法向量为()111,,m x y z =，则0,0,m PC m BP ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入可得11111310,2310,22x y nz x y ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 令11113,0x y z ===，则，所以()1,3,0m =.……………………………7分 设平面PAC 的法向量为()222,,n x y z =则0,0,nPC nAP ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入可得22222310,22310,22x y nz x y ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩令222313,x y z n ==-=，则，所以31,3,n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.……………………………8分 二面角A PC B --的大小为α，由图可知，二面角α为锐二面角，所以213cos 31313m nm nnα-==+⨯++210,234n⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭+，……………………………………………………………………10分 所以,32ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭.…………………………………………………………………………12分 20.解：（1）由题意知A 水果在每天的前8小时内的销售量为14，15，16，17的频率分别是0.2，0.3，0.4和0.1，………………………………………………………………2分 所以X 的分布列为………………………………………………………………………………………………4分 （2）当15n =时，设Y 为水果批发商的日利润，则Y 的可能取值为760，900，…5分()()7600.2,9000.8P Y P Y ====，()7600.29000.8872E Y =⨯+⨯=，……………………………………………………7分当16n =时，设Z 为水果批发商的日利润，则Z 的可能取值为680，820，960，…8分()()()6800.2,8200.3,9600.5P Z P Z P Z ======，()6800.28200.39600.5862E Z =⨯+⨯+⨯=.………………………………………10分综上可知，当15n =时的日利润期望值大于16n =时的日利润期望值，故选15n =.…12分 21.解：（1）直线AB 的方程为1x ya b+=，即0bx ay ab +-=，……………………1分=………………………………………………………………………2分 因为三角形OAB 的面积为1，所以1122ab ab ==，即，……………………………3分 解得2,1a b ==，…………………………………………………………………………4分所以椭圆的标准方程为2214x y +=.………………………………………………………5分 （2）直线AB 的斜率为12-，设直线l 的方程为()()11221,,,,2y x t C x y D x y =-+，……6分 代入2222122104x y y ty t +=-+-=，得，……………………………………………7分 则212121,2t y y t y y -+==，………………………………………………………………8分所以121211212122122y y y y y k k x x x x x --==--，…………………………………………………9分所以()()()()2122122*********x x x t y t y t y t t y y y y t y ⎡⎤-=----=-++-+⎣⎦()()()()()21212121212212144y y y y y y y y y y y y y y ⎡⎤=+-+++-++=-⎣⎦，……11分所以1214k k =为定值.……………………………………………………………………12分22.解：（1）由题意，可得1ln x a x +=，转化为函数()1ln xg x x+=与直线()0y a =+∞在，上有两个不同交点.…………………………………………………………………………1分()()2ln 0xg x x x-'=>，故当()0,1x ∈时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞，时，()0g x '<. 故()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 11g x g ==.…………………………………………………………………3分 又10g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x <；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x >.可得()0,1a ∈.………………………………………………………………………………5分 （2）()1f x a x'=-， 由（1）知12,x x 是ln 10x ax -+=的两个根， 故12112212ln ln ln 10,ln 10x x x ax x ax a x x --+=-+=⇒=-.……………………………7分要证()121f x x a '<-，只需证121x x >，即证12ln ln 0x x +>，即证()()12110ax ax -+->，……………………………………………………………8分 即证122a x x >+，即证121212ln ln 2x x x x x x ->-+.…………………………………………9分不妨设()()1122112121222120ln 1x x x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭<<<=*++，故， 令()()()()()()()21222211140,1,ln ,0111t t x t h t t h t x t t t t t --'=∈=-=-=>+++，………11分则()()01h t 在，上单调递增，则()()10h t h <=，故()*式成立，即要证不等式得证. ………………………………………………………………………………………………12分。