初中数模型模型 倍长中线或类中线倍长中线或类中线倍长中线或类中线（已知如图：
∠2=1
2
∠AOB，OA=OB。

连接FB，将△FOB 绕点O 旋转至△F′OA 的位置，连接F′可得△OEF′≌△OEF。

基本模型（1）——正方形如图，在正方形ABCD EF=BE+DF 。

初中数学解题模型专题讲解初中数学解题模型专题讲解 专题14 14 半角模型半角模型半角模型
（与中点有关的线段与中点有关的线段））构造全等三角形构造全等三角形 旋转 ′E、FE， 正方形内含半角
CD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，∠EA
EAF=45°，求证：
基本模型（2）——等边三角形内含半角
基本模型（3）——等腰直角三角形内含半角
模型分析
模型分析
（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； （3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。

核心母题 如图，在正方形
求证：EF=BE+DF.
正方形ABCD 中，E、F 分别是BC、CD
边上的点
上的点，∠EAF=45°，
变式一：如图，E、F 分别的周长是2，求∠EAF
的度数分别是边长为 1的正方形ABCD 的边BC、CD
度数?
CD
上的点,若△ECF
变式二：如图，在正方形AG⊥EF，求证：AG=AB.
正方形ABCD 中，E、F 分别是BC、CD
边上的点
的点，∠EAF=45°，
综合：在正方形ABCD 中求证：①.∠MAN=
②o
45中，若M 、N 分别在边BC 、CD 上移动，且满足②.③.AM、AN 分别平分∠BMN
AB C CMN 2=
∆
且满足MN=BM +DN ，
和
∠DNM.
练习
1、如图，在四边形
BC上的点，若△BKN的周长是
2、已知：正方形
的两边分别交CB、DC（
BM=DN时（如图1），
（1）当∠MAN绕点A
怎样的数量关系？写
（2）当∠MAN绕点A
样的数量关系？请直
ABCD中，AB=BC,∠A=∠C=90°，∠B=135°，
周长是AB的2倍，求∠KDN的度数？
ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A
或它们的延长线）于点M、N．当∠
易证BM+DN=MN．
旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、
出猜想，并加以证明；
旋转到如图3的位置时，线段BM、DN
接写出你的猜想．
，K、N分别是AB、
顺时针旋转，它
MAN绕点A旋转到
、DN和MN之间有
和MN之间又有怎
3、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD 上的点，且2∠EAF=∠BAD，
（1）求证：EF=BE+FD （2）如果E、F 分别是边立？说明理由。

别是边BC、CD 延长线上的点，其他条件不变，
，结论是否仍然成
4、如图所示，在五边形AD 平分∠CDE.
边形ABCDE 中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠
∠AED=180°求证：
5、如图，已知
AB=CD=AE=B
面积．=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDE的
6、如图1．在四边形ABCD中．AB=AD，∠B+∠D=180゜，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠BAD=2∠EAF．
（1）求证：EF=BE+DF；
（2）在（1）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时，如图2所示，
试探究EF、BE、DF之间的数量关系．
7、如图，
在△
ABC中，∠ACB
PB=1．求∠BPC的度数
ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PC=2，
半角模型
条件条件：：
思路思路：：
（1）、）、延长其中一个补角延长其中一个补角（延长CD 到E ，使ED=BM
（2）对称对称（（翻折翻折））
思路:分别将分别将△△ABM M 、P 、N 三点共
2
1
+=γθβα
且
个补角的线段个补角的线段
ED=BM ED=BM ，，连AE 或延长CB 到F ，使FB=DN FB=DN ，结论结论：：①MN=BM+DN ②平分∠BMN 和∠DNM
M 和△ADN 以AM 和AN 为对称轴翻折为对称轴翻折，，但一三点共线.（∠B+∠D =且AB=AD ）
.
1800=C CMN
2=
∆0
180连AF ）
③AM AM、、AN 分别但一定要证明
AB
例题应用例题应用：：例1、在正方形+DN ，求证求证：：①.∠MAN=
③.AM AM、、AN 分别平分
思路同上略思路同上略..
例1拓展拓展：：在正方形ABC 长线上移动长线上移动，，
①.试探究线段MN MN、、 ②.求证求证：：AB=AH.
例2.在四边形ABCD 中且满足EF=BE +DF.求证求证：：
AB C CMN 2=
∆∠正方形ABCD 中，若M 、N 分别在边BC 、CD
②.别平分∠BMN 和∠DNM. ABCD
中，已知∠MAN=，若M 、N 分别在BM 、DN 之间的数量关系之间的数量关系.. 提示如图提示如图：：
，∠B+∠D =，AB=AD ，若E 、F 分别在
o
45o
45o
180.21
BAD EAF ∠=
∠
上移动上移动，，且满足MN=BM 分别在边CB 、DC 的延
分别在边BC 、CD 上
，
练习巩固练习巩固：：如图如图，，在四边BC 、CD 上的点上的点，，且
EAF
∠ 提示提示：：
在四边形
ABCD 中，∠B=∠D =，AB=AD . 求证求证：：EF=BE +DF.
提示提示：
：o
90.21
BAD ∠
=
，若E 、F 分别在边
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