dI = Fd t
力在有限时间内（瞬时t1至瞬时t2）的冲量
I t2 Fdt t1
(11－5)
冲量计算的投影式
若 I Ixi Iy j Izk,
F X (t)i Y (t) j Z (t)k
则冲量计算的投影式为
I x
t2 X (t)dt
t1
I y
t2 Y (t)dt
t1
I z
(2)
p带’ = d m2v L
2R mv mv 2(d R)
L
L
= m v = p带
例11-3 椭圆规机构如图，已知规尺 BD = 2L , 质量为2m1，滑
块 B、D 的质量均为 m2；曲柄OA = L，质量为 m1，以匀角速度ω 绕轴O 转动。求: 图示瞬时， ⑴ 曲柄 OA 的动量；⑵ 整个机
t1
质点动量定理 的积分形式
(11－7)
即：质点在 t1 至 t2 时间内动量的改变量等于作用于其上的力在同 一时间内的冲量。
二、质点系的动量定理
设质点系有 n 个质点，第 i 个质点的质量为 mi，速度为 vi；
受力Fi(e) ········外力，Fi(i) ········内力，
由质点的动量定理，有
已知 m1 = 2m2 = 4m3 ，v1 = v2 = v3 = v ，求系统动量。
v3
v2
y
m2
p
m1v1
m3
45°
m1 v1
m2v2
O
解： p m1v1 m2v2 m3v3
45° m3v3
x
px m2v2 m3v3 cos 45 2.707 m3v py m1v1 m3v3 sin 45 3.293m3v
miri m rc
质
)
m d rc dt
m vc
结论：质点系的动量等于质点系的总质量与其 质心速度的乘积。
质点系的动量 p 在直角坐标系中的投影为
px mivix mvcx py miviy mvcy pz miviz mvcz
若一个质点系由多个刚体组成，则该质点系动量可 写为
解：AB 杆做平面运动，
B
C
vB
φ
P ωAB
mvc
vA
瞬心为P，∵vA= v
AB
vA AP
v
l sin
vC
AB
CP
v
2 sin
p mvC
mv
2 sin
A
•见续后
⑹ 皮带轮传动系统由均质轮和均质皮带组成， 该系统的动量等于多少？
ω2 m2
O2
？
m
C
m1 ω1
O1
∵系统对称于两轮轴心连线， ∴系统质心必在该连线上，
d (mivi) = ( Fi(e) +Fi(i) ) d t = Fi(e)d t + Fi(i)d t
对于整个质点系
n
n
n
d(mivi ) Fi(e)dt Fi(i)dt
i 1
i 1
i 1
d(mivi ) d (mivi ) dp,
(Fi(e)dt) dIi(e)
(Fi(i)dt) 0
流体在管道内流动的动压力 动量守恒
质点系动量定理的应用
1．流体在管道中流动时的动压力
关于流体的几个概念：
流体的密度：流体单位体积的质量 ( Kg/m3 )。 稳定流动（定常流动）： 流体各质点流经空间某固定点时，其速度和压强 等都不随时间而改变。 流量 Q ：单位时间内流经某截面的流体体积(m3/s)。 流体的不可压缩性： 流经各截面的流量不变。
n
n
dp (Fi(e)dt) dIi(e)
i 1
i 1
(11－8)
质点系动量的增量等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和。
或
dp
dt
n i1
F (e) i
(11－9)
质点系的动量对时间的一阶导数等于作用于质点系的外力的矢量和
在瞬时 t1至 t2 段时间内积分，有
n
得
p2 p1
I (e) i
§11-1 动量与冲量
一、动量
⒈质点的动量：
质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。
动量是矢量，其方向与速度方向一致。
若 v vxi vy j vzk 则 mv mvxi mvy j mvzk
⒉质点系的动量：
mv v m
质点系内各质点动量的矢量和，称为质点系的动量主矢，简 称为质点系的动量。用 p 表示.。
欧拉动水 反力公式
流体动反力公式的一些应用：
（1）流体管道动压力的计算，即 N 壁 = － N ”=ρQ (v1 － v2)
（2）在大流量、高流速 的管道的弯头处管壁强
度校核以及弯头处支座安装的依据。
（3）输送散体（粮食、矿石等）机械动压力的 计算。
例11-6 已知流量 Q，密度ρ，流入截面 AB 的直径为 d1，流出
Fx
c1
m1g
ω e φ
A
c2 p2 m2g
x
由质点系动量定理：
dpx
dt
X (e),
dpx dt
Fx
,
Fy MA
dpy
dt
Y (e),
dp y dt
Fy
m1g m2 g ,
Fx m2 2esin t, Fy (m1 m2 )g m2 2ecost
三、质点系动量定理的应用
i1
dp F dt p2
n t2 (e)
p1
i1 t1 i
(11－10)
在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系 外力冲量的矢量和。
动量定理的投影式：
dt X
dpx
(e)
dt Y
dp y
(e)
dt
dpz
Z (e)
p2x p1x I x (e)
p2 y p1y I y (e)
n
p mivi i 1
动量的量纲为 dim mv = MLT-1
在国际单位制 中，动量的单 位为 kg·m/s。
例11-1 三物块用绳连接如图示，其质量为 m1=2m2 =4m3 ，如绳的质量和变形均不计， 则三物块均以同 样的速度v运动。求该质点系的动量。
v3
v2
m2
m3 45°
m1
v1
• 见后续
量 守 恒
当∑X (e) ＝ 0 时，px= p0x= 常量。
定
律
实例分析
太空拔河
宇航员A、B的质量分别为mA、mB。开始时二人在太空保持
静止。若A的力气大于B，则拔河胜负如何？
C
vA
vB
F (e) 0, mAvA mBvB (mA mB )vC 0
∴ 二人拔河不分胜负！
受 力 分
mA FA FA’
p pi mivci ,
式中 mi 、vci 分别为第 j 个刚体的质量和它的质心的速度。
例11-2 求图示均质物体或物体系统的动量。
⑴均质轮质量为m，半径为R，绕质心轴C 转动，角速度为ω， 则其动量为
p mvc
vc 0 p mvc 0
ω C
⑵ 均质轮质量为m，半径为R，偏心距为e，绕轴O转动，角 速度为ω，则其动量为
C
x
D v2
说明：流体对管壁的附加动反力的方向与之相反。
2. 质点系动量守恒定律
• 当作用于质点系上的外力主矢恒等于零时， 则质点系的动量保持不变。
• 当作用于质点系上的外力主矢在某轴（如 x 轴）上投影恒等于零时，则质点系的动量 在该轴上的投影保持不变。
动
当 R (e)＝0 时，p= p0 = 常矢量； 即
析
FA’ = FB’
FA = FB
mB FB’ FB
驱动汽车行驶的力
Fr aC W
F2
N2
M
N1
F1
maC=F1－F2－Fr 当F1＞F2＋Fr时，aC＞0
短跑运动员如何在短时间内获得巨大动量?
定向爆破
v
P
爆破后，各物块的 轨迹各不相同，但 质心的轨迹近似一 抛物线，由此可预 计大部分物块的堆 落的地方。
§11-2 动量定理
一、质点的动量定理
若质量 m 恒定，则牛顿 第二定律可写为
d (mv) F dt
或
d(mv) Fdt
质点动量定理 的微分形式
(11－6)
即：质点的动量对时间的导数等于作用于其上的力。
在t1至t2时间内积分，得
v2 d (mv) t2 Fdt
v1
t1
mv2
mv1
t2 Fdt I
p px 2 py 2 4.263m3v
( p, i) arccos px 50.58, p
( p, j) arccos py 140 .58 p
质点系动量的另一算法：
设质点系内各质点对固定点O的矢径为 ri，则
vi
d dt
ri
,
p mivi
mi
dri dt
d
dt
mi ri
截面 CD 的直径为 d2 。求附加动反力。
解：以 AB、CD段液体为研究对象：
设流入、流出的速度分别为v1 、v2，
y
管壁对流体的动反力为Nx 、 Ny
v1
则
Q
v1
d12
4
v2
d
2 2
4
A
B
v1
4Q
d12
,
v2
4Q
d
2 2
Nx
Q(v2
0)
4 Q d 2 2
,