g1 g 2 g3 g 4 g5 sin 1 sin 2 sin 2 sin 3 sin 3 V pa V pa Vsa V pb Vsb
A1 A2 cos 1 A3 sin 2 A4 cos 3 A5 sin 3 0 A1 A2 sin 1 A3 cos 2 A4 sin 3 A5 cos 3 0
设反射横波中质点的位移函数为：
U 3 A3 sin(t f3 x g3 y )
f3
cos 2
Vsa
; g3
sin 2
Vsa
相应的位移分量为：
u3 U3 sin 2 , v3 U3 cos 2
设透射纵波中质点的位移函数为：
U 4 A4 sin(t f 4 x g4 y) cos 3 sin 3 f4 ; g4 Vpb Vpb 相应的位移分量为： u4 U 4 cos 3 , v4 U 4 sin 3
xy yz zx 0
各个正应力分量之间的关系为：
y z x x 1
弹性介质内质点沿x方向的速度分量为：
u1 df1 ( x V p t ) ( x V p t ) d u1 V p f1 ( ) t d ( x V pt ) t d
x VS t
说明弹性介质的每一个点都始终处于z及x方向的简单剪切状态。 应用物理方程求出相对应的应力分量：
E xz xz xz 2(1 )
其余的应力分量等于零。
弹性介质内质点沿z方向的速度分量为：
w1 df1 ( x VS t ) ( x VS t ) d w1 VS f1 ( ) t d ( x VS t ) t d
它的传播速度就是 表示一个沿x方向传播的横波。
x VS t
应用几何方程求出相对应的应变分量：
x y z 0, xy yz 0
w1 u df1 ( x VS t ) ( x VS t ) d xz f1 ( ) x z d ( x VS t ) x d
洛夫波是 1911年英国力学家洛夫(A.E.H.Love) 首先 提出的。这种波发生时，介质至少要有两层，上层 中的Vs要小于下层中的Vs。面波存在于分界面之下， 传播速度介于上下层两个横波速度之间。洛夫波是 横波，其质点运动与分界面平行。 洛夫波是横波，其质点运动与分界面平行。它是ＳＨ型 的横面波。 形成要求：当横波速度较高的半无限弹性介质上覆盖以 低速层时，则在覆盖层和半无限弹性介质的分界面上可以 形成这种ＳＨ型的面波。
入射纵波到达两种介质的分界面上时，反射两种波，即反 射纵波和反射横波；透射两种波，即透射纵波和透射横波。 入射波、反射波及透射波的传播方向之间存在关系（斯奈 尔定律）：
P1S2透射横波
P1入射纵波
P1S1反射横波 P11反射纵波 P12透射纵波
设入射纵波中质点的位移函数为：
U1 A1 sin(t f1 x g1 y)
(a)瑞雷面波的传播
(b)洛夫面波的传播
瑞雷波具有以下特点： 1 瑞雷面波只产生在自由界面附近；
2 能量沿传播方向衰减缓慢，沿垂直方向 能量随 r （波的传播半径）而衰减，较 体波衰减慢迅速衰减； 3 瑞雷面波传播时，在自由界面上的质点 作逆时针的椭圆运动；
4 质点在Y方向上的位移比在X方向上的位 移超前 ； 2 5 vR vS vP
沿x方向的正应变为：
u1 df1 ( x V p t ) ( x V p t ) d x f1 ( ) x d ( x Vpt ) x d
x Vpt
其余的应变分量都等于零，说明弹性介质的每一个点 都始终处于方向的简单拉压状态。 由物理方程求应力分量：
E (1 ) x t 2 x ( 2 ) x x (1 )(1 2 ) E y t 2 y x x (1 )(1 2 ) E z t 2 z x x (1 )(1 2 )
地震波的传播规律
内容
一 地震波在介质中的传播 1 平面波的传播 2 球面波的传播 惠更斯-菲涅尔原理 克希霍夫积分解
二 地震波在介质分界面处的传播 1 面波 2 地震波在界面处的反射和透射 3 地震波的能流密度和几何扩散
一 地震波在介质中的传播
1 平面波的传播 当地震波在离震源足够远处，波前变得足够平， 以致局部的平面波传播成立。 平面纵波的波动方程： 其通解为：
x Vpt
沿y向及z向的速度分量为零。
u1 x Vp
x的数值很小，故可见质点运动的速度远远小于此波的传播
速度。
u2 f 2 ( x V p t )
表示一个沿x的负方向传播的纵波。
它的传播速度也是 V p 所以平面纵波不论其波长大小和形状如何，在弹性介 质中都以疏密发散的形式向前或向后传播。波速为：
VS
比较平面纵波与平面横波的传播速度：
VP 2 2(1 ) 1 ,0 VS 1 2 2
故在同一介质中纵波的波速要比横波的波速大很多。
2 球面波的传播 当地震波在理想均匀无限弹性介质中传播时， 波的传播服从惠更斯-菲涅尔原理 惠更斯(Huygens)原理
2 2u u 2 Vp 2 t x 2
u u1 u2 f1 ( x Vpt ) f 2 ( x Vpt )
f为波函数（可以表示为位移位、位移、体变等各 种物理量）
物理意义：
u1 f1 ( x Vpt )
对于任一瞬时t，u为x的函数，可以用曲线ABC表示
在b介质中质点的总位移分量为：
ub u4 u5 ; vb v4 v5
设入射纵波的各个参数为已知，于是可以由边界条件确定 反射波和投射波的各参数。 1、在分界面上位移连续，有
ua x0 ub x0 va x0 vb x0
代入可得：
A1 cos 1 sin( t g1 y ) A2 cos 2 sin( t g 2 y ) A3 sin 2 sin( t g3 y ) A4 cos 3 sin( t g 4 y ) A5 sin 3 sin( t g5 y ) A1 sin 1 sin( t g1 y ) A2 sin 2 sin( t g 2 y ) A3 cos 2 sin( t g3 y ) A4 sin 3 sin( t g 4 y ) A5 cos 3 sin( t g5 y )
Vp
( 2 )

2 2w 2w w 2 VS 2 2 t x x 2
VS
2
此为平面横波的波动方程。
其通解为：
w w1 w2 f1 ( x VS t ) f 2 ( x VS t )
w1 f1 ( x VS t )
洛夫面波传播的特点 1 当横波速度较高的半无限弹性介质上覆盖以低速层时， 则在覆盖层和半无限弹性介质分界面上可以产生洛夫面 波；
2 它是SH型面波，因此，它沿着x轴方向传播，则相应 地振动应垂直于x轴且平行于分界面，即振动应沿y轴 方向，从而位移只有分量v； 3 在层内质点的位移按简协规律变化；
4 在半空间质点的位移，则随着z的增加而迅速衰减。
1690年，任意时刻波前上的每一点 可以看作一个新的震源，产生二次 扰动，新波前的位置可以认为是该 时刻二次震源波前面的包络线。
虽然可以预料衍射现象的存在，却 不能对这些现象作出解释 ，也就是 它可以确定波的传播方向，而不能 确定沿不同方向传播的振动的振幅 , 只是给出了几何位置，没有涉及波 到达新位置的物理状态。
说明瞬时t所作的曲线ABC只要把它沿x方向移动一个 距离，如图中的A’B’C’，就适用于下个瞬时
距离
x Vp t
下个瞬时
t t
u1 f1 ( x Vpt )
它的传播速度就是
表示一个沿x方向传播的纵波。
x ( 2 ) Vp t
应用几何方程求出相对应的应变分量：
此曲线表示在该瞬时，弹性介质内各点因干扰而产生 的位移，曲线的形状决定于f函数。
u1
A
B A
V p t
B
C C
x
经过时间间隔
t
x V p t 将成为 x Vp (t t ) x Vpt V p t u1 也将改变数值
如果将坐标x增大
x Vp t
u1 的数值将不改变
设透射横波中质点的位移函数为：
U 5 A5 sin(t f5 x g5 y )
f5
cos 3
Vsb
; g5
sin 3
Vsb
相应的位移分量为：
u5 U 5 sin 3 , v5 U 5 cos 3
在a介质中质点的总位移分量为：
ua u1 u2 u3 ; va v1 v2 v3
f1
cos 1
Vpa
; g1
sin 1
Vpa
相应的位移分量为：
u1 U1 cos 1 , v1 U1 sin 1
设反射纵波中质点的位移函数为：
பைடு நூலகம்
U 2 A2 sin(t f 2 x g2 y) cos 2 sin 2 f2 ; g2 Vpa Vpa 相应的位移分量为： u2 U 2 cos 2 , v2 U 2 sin 2
5 vs1 vl vs 2 ，具有频散特性。
2 地震波在界面处的反射和透射 边界条件： 在分界面上有力的边界条件：分界面两边的应力相等； 在分界面上有位移的边界条件：分界面两边的位移相等。 即：下述四个量应该相等 1、正应力 2、剪应力 3、质点的法向位移 4、质点的切向位移