空间向量运算的坐标表示
教学设计
讲课人:宋海阳指导人：韩红松
一、教学内容分析
课程标准指出：“用空间向量解决几何问题，提供了新视角。
空间向量的引
入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。
学生将在平面向量的基础上，把平面向量及运算推广到空间，运用空间向量解决
有关直线、平面位置关系的问题，体会向量法在研究几何图形中的作用，进一步
发展空间想象能力和几何直观能力。
”
本节课是在学生已经掌握了平面向量运算的坐标表示的基础上进行的，是
《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是用向量法解决立体几何问题的基础，
让学生初步体会向量法在解决立体几何问题中的优越性，帮助空间想象能力较弱
的同学顺利解题。
二、学生学情分析
1、学生学习本节内容的基础
本节的学习对象是高二学生,他们已经掌握了平面向量坐标运算及规律，并学会了空间向量的几何形式及其运算，数学基础较为扎实，学习上具备了一定的观察、分析、解决问题的能力，但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺.所以通过教师的引导,学生的自主探索,不断地完善自我的认知结构。
2、学生学习本节内容的能力
具有一定的画图能力，图形思维与代数思维可以结合起来。
具有一定的推导能力，具备一定的数学的严谨性。
3、学生学习本节内容的心理
本节内容学生容易接受，学生在学习的过程中会有很强的求知欲和成就感，对培养数学思想有推动作用。
三、教学目标分析
1、知识与技能：
（1）会运算空间向量的加法、减法、数乘及数量积的坐标表示；
（2）熟记空间向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式；
（3）会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；
（4）掌握用向量法解决两条异面直线所成角的方法。
2、过程与方法：
（1）在与平面向量的坐标运算的比较的基础上，培养学生观察、分析、类
比转化的能力；
（2）通过对几何图形的研究，使学生恰当地建立空间直角坐标系，从“定
性推理”到“定量计算”，从而提高分析问题和解决问题的能力。
3、情感态度价值观：
（1）通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；
（2）通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力。
四、教学重点难点分析 1、 教学重点
（1）掌握空间向量运算的坐标表示；
（2）应用向量法求两条异面直线所成角及线线垂直问题。
2、教学难点
（1）建立恰当的空间直角坐标系，正确求出点的坐标及向量的坐标； （2）正确理解两条异面直线所成角与两个空间向量夹角的区别。
五、教学策略分析
1、教学方法：自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流
2、教学手段：多媒体，电子白板
3、教学准备：
（1）由于维度的增加，新知识不能直接被学生在原有的知识结构中同化吸收，为学生配备了相应的训练题，通过训练更好地接受空间向量的坐标运算； （2）在求异面直线所成角时，会出现所求余弦值为负数。
引领学生复习异面直线所成角的概念，强化应用空间向量解决几何问题与几何法的差异。
六、教学过程分析
（一）自主预习，熟悉要领
1. 精读教材95页，用红笔勾画重点、记忆公式，完成以下内容： （1）空间向量的坐标运算
若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则_________+=a b ， _____________-=a b ， _____________()=∈a R λλ，a b _______________⋅=. （2）空间两个向量共线的充要条件:
//________________________________________()a b R λ⇔∈ ________________________________________()R λ⇔∈ （3）空间两个非零向量垂直的充要条件
a b a b 0___________⊥⇔⋅=⇔. （4）向量的模与夹角
a =______________________;
cos a,b _____________________________________________.<>==
（5）空间内两点间的距离公式:
（6）线段中点坐标公式
2. 独立完成自我检测，小组内对答案解惑。
【自我检测】
1．已知a ⃗ =(−3,2,5),b ⃗ =(1,5,−1),求：(1)a ⃗ +b;⃗⃗⃗ (2)3a ⃗ −b ⃗ ;
(3)6a ⃗ ; (4)a ⃗ ∙b ⃗
2.已知a ⃗ =(2,-1,3),b ⃗ =(-4,2,x),且a ⃗ b ⃗ ,求x 的值。
3.已知A(3，5，-7),B(-2，4，3)，求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA
⃗⃗⃗⃗⃗ ,线段AB 的中点坐标及线段AB 的长。
设计意图：检测学生预习效果，进而熟悉本节知识。
（二）合作探究，解决疑难 探究一：求异面直线所成的角
如图1，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 1，F 1分别是A 1B 1，C 1D 1的一个四等分点，求BE 1与DF 1所成角的余弦值。
探究二：证明线线垂直
如图2，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点，求证EF DA 1.
⊥⊥
探究处理：由小组讨论完成，组内解决疑惑，共性问题老师引导；小组展示结果；解题过程通过“找茬”游戏处理。
设计意图：小组讨论，让学生自己积极思考解决问题的方法，引导学生从不同角度考虑，组内解决可以个别学生的疑惑；为规范解题过程，通过“找茬”的游戏，让学生找出解题过程中不对的地方，帮助学生加深印象。
（三）课堂检测，体现收获
1. 如图3，正方体ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
中，点M是AB的中点，求DB
1
与CM所成角的余
弦值。
2.如图4，正方体ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
的棱长为a.
(1)求A
1B和B
1
C的夹角；（2）求证：A
1
B AC.
（四）自主反思，总结提升
1.空间向量的加法、减法、数乘及数量积的坐标表示；
2.空间向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式；
3.利用向量解决空间立体几何问题；
4.我的疑惑：
（五）课后练习，巩固强化
3. 如图5，正方体ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
中，点M,N分别为棱AA
1
和BB
1
的中点，求CM和
D
1
N所成角的余弦值。