题压轴题平行线的拐角问题24 七年级下册第七下平行线，平面直角坐标系压轴题二．解答题（共27小题）14．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM平分∠EFD，点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP）；请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥CD（已知），∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠1=∠3，∠2=∠4（）∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）即∠HMF=∠1+∠2．∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP（）．DFP）（等量代换）∠+DFP=（∠BHP+∠∴∠HMF=∠BHP的度数；，求∠HMFHP）如图2，若⊥EF（2，试说Q⊥FM于点NHFE交AB于点N，过点作NQFNP3（）如图3，当点与点F 重合时，平分∠．EHF=2∠FNQ明无论点H在何处都有∠是射线H平分∠F，FMEFD，点、相交于点、分别与，直线∥．如图，已知直线14ABCDEFABCDE页（共121/ 1 12第页）题压轴题平行线的拐角问题24七年级下册第EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP）；请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥CD（已知），∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠1=∠3，∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）即∠HMF=∠1+∠2．∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP（角平分线定义）．DFP）（等量代换）∠DFP=（∠BHP+∠∴∠HMF=∠BHP+的度数；，求∠HMF⊥）如图2，若HPEF（2，试说于点Q作NQ⊥FM平分∠重合时，FNHFE交AB于点N，过点N）如图（33，当点P与点F．FNQH明无论点在何处都有∠EHF=2∠）根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线定义进行判断即可；1【分析】（的度数；HMF，再根据（1）中结论即可得到∠∥CD，得到∠EHP+∠DFP=90°HP （2）先根据⊥EF，ABHFD=2平分∠EFD，即可得出∠FN平分∠HFE，FM，再根据（3）先根据题意得到∠NFQ=90°﹣∠FNQ．∠FNQ+∠HFD=180°，即可得出∠EHF=2∠NFQ，最后根据∠EHF，其依据为：两直线平行，内错角相等；2=∠41=）由MQ∥CD，得到∠∠3，∠解：【解答】（1，其依据为：角平分线定义．DFP∠1=∠BHP，∠2=平分∠平分∠由FMEFD，HMBHP，得到∠故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线定义．，⊥EFHP2（）如图2，∵，HPE=90°∴∠页（共122/ 2 12第页）七年级下册第24题压轴题平行线的拐角问题∴∠EHP+∠HEP=180°﹣90°=90°（三角形的内角和等于180°）又∵AB∥CD，∴∠HEP=∠DFP．∴∠EHP+∠DFP=90°．=45°．=×90°HMF=（∠EHP+∠DFP）由（1）得：∠，FMNQ3，∵⊥（3）如图．）=90°（三角形的内角和等于180°NFQ+∠FNQ=180°﹣90°∴∠．FNQ∴∠NFQ=90°﹣∠，EFD，FM平分∠∵FN平分∠HFE，HFD=∠HFE+∠EFD）又∵∠NFQ=∠NFE+∠QFE=（∠．NFQHFD=2∠∴∠，CDAB∥又∵，∠HFD=180°∴∠EHF+，∠FNQFNQ）=2﹣2∠NFQ=180°2（90°﹣∠∴∠EHF=180°﹣∠HFD=180°﹣．FNQ∠H在何处都有∠EHF=2即无论点本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义以及平行公理的运用，解决问题的【点评】关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．，连结并延长至点FEAC在直线n上，连结上，点∥mn，点B、F在直线mE、．如图151，直线．∠BAC和CA，使∠AEC=BA；BAC=180°+）求证：∠BFA∠（1相等的角，并加以证明；CAF）请在图1中找出与∠（2，请直接写ADC=α的角平分线交于点M，若∠CBFAF，连结BC交于点D，作∠和∠CEF23（）如图的式子表示）的度数（用含α出∠M3页（共12123 / 第页）七年级下册第24题压轴题平行线的拐角问题【分析】（1）根据平行线的性质即可得到∠AEC=∠AFM，再根据∠AEC=∠BAC，可得∠AFM=∠BAC，根据∠BFA+∠AFM=180°，可得结论；（2）根据三角形内角和定理以及平行线的性质，即可得到与∠CAF相等的角；（3）过D作DH∥BF，过M作MG∥BF，根据平行线的性质，即可得到∠CED=∠HDE，∠FBD=∠HDB，再根据∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，可得∠CEM+∠FBM=（∠CED+∠FBD），进而得到∠M的度数．【解答】解：（1）如图1，∵直线m∥n，∴∠AEC=∠AFM，∵∠AEC=∠BAC，∴∠AFM=∠BAC，又∵∠BFA+∠AFM=180°，∴∠BFA+∠BAC=180°；（2）与∠CAF相等的角有：∠ANC，∠ABF，∠BNG．证明：∵∠AEC=∠BAC，∠ACE=∠NCA，∴∠CAE=∠ANC=∠BNG，∵m∥n，∴∠ABF=∠ANC，∴与∠CAF相等的角有：∠ANC，∠ABF，∠BNG；（3）如图2，过D作DH∥BF，过M作MG∥BF，∵BF∥CE，∴DH∥BF∥CE，MG∥BF∥CE，4 / 12第4页（共12页）七年级下册第24题压轴题平行线的拐角问题∴∠CED=∠HDE，∠FBD=∠HDB，∴∠CED+∠FBD=∠EDB=180°﹣∠ADC=180°﹣α，∵∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，，α=90°﹣﹣=（180°α）∴∠CEM+∠FBM=（∠CED+∠FBD），CEBF∥∵MG∥，GMBFBM=∠CEM=∠GME，∠∴∠．﹣αCEM+∠FBM=90°GMB=∴∠BME=∠GME+∠∠本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，解题时注【点评】意：两直线平行，内错角相等．上的点．，CDN分别是AB．已知直线AB∥CD，M，16内一点．CD是AB，（1）若E之间的数量关系，并证明．MENDNE，∠，∠①如图甲所示，请写出∠BME的数量关系．与∠MENF2=∠DNE，请利用①的结论探究∠∠②如图乙所示，若∠1=BME，∠外一点．，CD）若E是AB（2之间的数量关系．E，∠END，∠EMB①如图丙所示，请直接写出∠，请在图中画出点∠EMGN=，在射线MP上找一点G，使得∠BMP=②如图丁所示，已知∠∠EMB的值．：∠GNDG的大致位置，并求∠ENG，构造内错角，依据两直线平行，同旁内角互补进行推导，即可得到∥ABE（1）①过作EF【分析】5页（共12125 / 第页）七年级下册第24题压轴题平行线的拐角问题∠BME+∠DNE+∠MEN=360°．②过F作FG∥AB，构造内错角，依据两直线平行，内错角相等，即可得到∠MFN=∠1+∠2，再结合①的结论，即可得出3∠MFN+∠MEN=360°；（2）①过E作EF∥AB，构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行推导计算，即可得到∠DNE，∠E=4β可得∠EMQ=3α，EMB，∠G=∠E，∠﹣∠BME=MEN；②设∠GMB=α，∠G=β，由∠BMP=∠，β∠1=α+，根据三角形外角性质以及平行线的性质，得到∠8字形结构得到∠GNQ=3α+3βGND=根据的值．GND据此可得∠ENG：∠．MEN=360°DNE+∠（1）①∠BME+∠【解答】解：，AB作EF∥证明：如图甲，过E，CDAB∥∵，CDEF∥∴，FEN=180°+∠∠FEM=180°，∠DNE∴∠BME+，180°=360°+∠FEN=180°++∴∠BME∠FEM+∠DNE．∠MEN=360°∠DNE+BME即∠+，∥ABF作FG②如图乙，过，CD∵AB∥，CD∴FG∥，NFG2=∠∠∴∠1=MFG，∠，2+∠∴∠MFN=∠1，∠DNE∠BME，∠2=又∵∠1=，2DNE=31，∠∠∴∠BME=3∠，MEN=360°+∠∠又∵∠BME+DNE，MEN=360°∠∠2+33∴∠1+；∠MEN=360°+即3∠MFN12第6页（共6 / 12页）24七年级下册第题压轴题平行线的拐角问题．∠MEN之间的数量关系为：∠DNE﹣∠BME=（2）①∠EMB，∠END，∠E，∥AB理由如下：如图丙，过E作EF，∥CD∵AB，∥CD∴EF，∠FEMFEN，∠BME=∴∠DNE=∠，∠MENFEN﹣∠FEM=又∵∠；MENBME=DNE﹣∠∠∴∠的大致位置如图丁所示：G②点，G=β，设∠GMB=α，∠NG与AB交于点F，设MG与NE交于点Q，E=4βEMQ=3α，∠，∠EMBG=∠E，可得∠由∠BMP=∠，GQNEQM=∠∵∠，GNQ+∠∠EMQ=∠G∴∠E+，+3β+3α﹣β=3α+即∠GNQ=∠E∠EMQ﹣∠G=4β的外角，是△GFM∵∠1，+α+∠GMF=β∴∠1=∠G，CD∥又∵AB，β∠1=α+∴∠GND=+β）=3）：（α．（∴∠ENG：∠GND=3α+3β【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质的运用，过拐点作平行线，准确识图，理清图中各角度之间的关系是解决问题的关键．17．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠EAF=30°，∠EDG=40°，则∠AED=70°；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；7 / 12第7页（共12页）七年级下册第24题压轴题平行线的拐角问题（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI=1：2，∠AED=22°，∠I=20°，求∠EKD的度数．【分析】（1）延长DE交AB于H，依据平行线的性质，可得∠D=∠AHE=40°，再根据∠AED是△AEH的外角，即可得到∠AED=∠A+∠AHE=30°+40°=70°；（2）依据AB∥CD，可得∠EAF=∠EHC，再根据∠EHC是△DEH的外角，即可得到∠EHG=∠AED+∠EDG，即∠EAF=∠AED+∠EDG；（3）设∠EAI=α，则∠BAE=3α，进而得出∠EDK=α﹣2°，依据∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG，可得3α=22°+2α﹣4°，求得∠EDK=16°，即可得出∠EKD的度数．【解答】解：（1）如图，延长DE交AB于H，∵AB∥CD，∴∠D=∠AHE=40°，∵∠AED是△AEH的外角，∴∠AED=∠A+∠AHE=30°+40°=70°，故答案为：70；（2）∠EAF=∠AED+∠EDG．理由：∵AB∥CD，∴∠EAF=∠EHC，∵∠EHC是△DEH的外角，∴∠EHG=∠AED+∠EDG，∴∠EAF=∠AED+∠EDG；（3）∵∠EAI：∠BAI=1：2，∴设∠EAI=α，则∠BAE=3α，∵∠AED=22°，∠I=20°，∠DKE=∠AKI，8 / 12第8页（共12页）七年级下册第24题压轴题平行线的拐角问题又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK=180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI=180°，∴∠EDK=α﹣2°，∵DI平分∠EDC，∴∠CDE=2∠EDK=2α﹣4°，∵AB∥CD，∴∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG，即3α=22°+2α﹣4°，解得α=18°，∴∠EDK=16°，∴在△DKE中，∠EKD=180°﹣16°﹣22°=142°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用三角形外角性质进行计算求解．解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．19．如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2．（1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；（2）如图2，当∠ADC=120°时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨∠E和∠F的数量关系；（3）如图3，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，若AC⊥BC，问当∠CDH为多少9 / 12第9页（共12页）七年级下册第24题压轴题平行线的拐角问题度时，∠GDC=∠ADH．【分析】（1）依据AC平分∠DAB，∠1=∠2，即可得到∠2=∠BAC，进而判定CD ∥AB．（2）当∠ADC=120°时，∠1=∠2=30°，依据∠2是△CEF的外角，可得∠E+∠F=∠2=30°．（3）依据DH∥BC，AC⊥BC，可得DH⊥AC，进而得到∠ADH=∠CDH，据此可得当∠GDC=∠ADH时，∠CDG=∠CDH=∠ADH，即可得到∠CDH=×180°=60°．【解答】解：（1）如图，∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠BAC，又∵∠1=∠2，∴∠2=∠BAC，∴CD∥AB．（2）当∠ADC=120°时，∠1=∠2=30°，∵点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，∴∠2是△CEF的外角，∴∠E+∠F=∠2=30°．（3）∵DH∥BC，AC⊥BC，∴DH⊥AC，又∵∠1=∠2，∴∠ADH=∠CDH，∴当∠GDC=∠ADH时，∠CDG=∠CDH=∠ADH，∴∠CDH=×180°=60°．故当∠CDH为60度时，∠GDC=∠ADH．【点评】本题主要考查了平行线的判定以及三角形外角性质的运用，两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．即内错角相等，两直线平行．10 / 12第10页（共12页）七年级下册第24题压轴题平行线的拐角问题22．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E，1第二次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E，211第三次操作，分别作∠ABE和∠DCE 的平分线，交点为E，…，322第n次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E．n11nn﹣﹣（1）如图①，求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE；（2）如图②，求证：∠BEC=∠BEC；2（3）猜想：若∠E=α度，那∠BEC等于多少度？（直接写出结论）．n【分析】（1）先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；（2）先根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E，运用（1）中的结论，得出∠CEB=∠ABE+∠DCE=1111∠ABE+∠DCE=∠BEC；同理可得∠BEC=∠ABE+∠DCE=∠ABE+∠DCE=∠CEB=∠BEC；112122（3）根据∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E，得出∠BEC=∠BEC；…据此得到规律∠E=∠n3232的度数．BECBEC，最后求得∠，ABEF∥（解：1）如图①，过E作【解答】，CDAB∥∵，∥CD∴AB∥EF，∠21，∠C=∴∠B=∠，21+∠∵∠BEC=∠；∠+DCE∴∠BEC=∠ABE（2）如图2，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E，1∴由（1）可得，11 / 12第11页（共12页）七年级下册第24题压轴题平行线的拐角问题；BECDCE=∠=∠ABE+∠B=∠CE∠ABE+∠DCE111，EDCE的平分线交点为∵∠ABE 和∠211）可得，∴由（1；∠BEC∠CEB==DCE∠ABE+∠DCE=C=∠BE∠ABE+∠112122，E和∠DCE的平分线，交点为（3）如图2，∵∠ABE322；∠BEC∠CEB===ABE+∠DCE∠ABE+∠DCEC=∴∠BE∠223323…，BECE=∠以此类推，∠nn度．α度时，∠BEC等于2=α∴当∠E n本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决【点评】问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．第12页（共1212 / 12页）。