9.1 平面的基本性
▐ 点、线、面之间的关系的集合语言
1、空间中最小的元素是 ?
2、我们可以把空间看作 面动成体；
的集合，从运动的观点来看，点动成线，线动成面，
3、直线与平面都可以看成是点的集合．可以用集合语言来描述点、直线和 平面之间的关系以及图形的性质．
9.1 平面的基本性
▐ 点、线、面之间的关系的集合语言
(1)反映了平面与平面的位置关系，只要“两面共一点”，就有 “两面共一线，且过这一点，线唯一”；
(2)从集合的角度看，对于不重合的两个平面，只要它们有公共点， 它们就是相交的位置关系，交集是一条直线.
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质2的作用
（1）判定两个平面是否相交； （2）可以判定点在直线上. 点是某两个平面的公共点，线是这两个 平面的公共交线，则这点在线上. 因此它还是证明点共线或线共点，并 且作为画截面的依据.
9.1 平面的基本性
▐ 平面的表示方法
平面可以用希腊字母表示，如α、β、γ等。也可以用代表表示平面的平行四边形的四个顶点 或相对的两个顶点字母表示，如平面ABCD，平面AC或平面BD。
9.1 平面的基本性
▐ 例题
表示出长方体ABCD-A1B1C1D1的6个面。
平面AD1 平面AC 平面BC1 平面A1C1 平面DC1 平面AB1
（2）
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质3推论3
（3）经过两条平行直线，有且只有一个平面。直线a,b共面于平面α，且平面α唯一。
（3）
9.1 平面的基本性
数学立体几何一直是数学的一大难点。因为它要求我们有立体感， 在一个平面内把几何图形的立体感想象出来。
不怕麻烦的心理 灵活应用的头脑 仔细计算的能力
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质3
（1）“不在一条直线上”和“三点”是基本性质3的重点字眼，如果没有前者，
那么只能说“有一个平面”，但不唯一。如果将“三点”改成“四点”那么过四点不一定 确定一个平面．由此可见“不在一条直线上的三点”是确定一个平面的恰到好处的条件。
（2） 深刻理解“有且只有”的含义，这里的“有”是说平面存在，“只有”是说平
面唯一，“有且只有”强调平面存在并且唯一这两方面，这就表明这个图形是确定的，所 以也可以说成“确定一个”.
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质3推论1
（1） 直线与这条直线外的一点有且只有一个平面。直线与点A共属于平面α且平面α 唯一。
（1）
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质3推论2
（2）经过两条相交直线，有且只有一个平面。直线a,b共面于平面α，且平面α唯一。
9.1 平面的基本性
▐ 例题
如图中 Δ ABC，若 AB,BC在平面 α 内，判断AC是否在平面 α 内？
解： AB在平面α内， A点一定在平面α内.
又 BC在平面α内， C点一定在平面α内. 点A、点C都在平面α内， 直线AC在平面α内
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质2
观察下图，你能发现到什么？
光滑的桌面、平整的纸张、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象， 数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。
9.1 平面的基本性
▐ 平面的概念和性质
平面的定义：
平面是一个只能描述而不定义的最基本的概念，它是从日常见到的具体的平面抽象 出来的理想化的模型 .
9.1 平面的基本性
▐ 点、线、面之间的关系的集合语言
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质1
观察下图：
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质1
图形表述：
符号表述： A l, B l; A , B l （直线l在平面内或平面经过直线l）
文字表述： 如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 (即直线在平面内)
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质2
图形表述：
l
A ●
符号表述：
A , A l且A l
（平面与平面相交，交线为l）
文字表述： 如果两个平面有一个公共点，那么它们一定还有其他公共点，并且所有公共点的 集合是过这个点的一条直线(即这两个平面相交)。
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质2的理解
机械设计
航天轨道 ▼
▲
房屋设计图纸 ▲
衣服款式立体图形
立体几何
▐ 几何体的概念
一切物体都占据着空间的一部分，如果我们只考虑物体的形 状和大小，而不考虑其它因素，则这个空间部分叫做一个几何体 .
立体几何
▐ 构成空间几何体的基本元素
点
最基本的图形
线
面与面相交形成
面
包围着体
立体几何
▐ 构成空间几何体的基本元素
几何里的平面的特征：
1. 平 2. 无限延展 3. 不计大小 4. 不计厚薄
( 不是凹凸不平 ) ( 没有边界 ) ( 无所谓面积 ) ( 没有质量 )
9.1 平面的基本性
▐ 平面的画法
(1)水平放置的平面：
(2)垂直放置的平面：
通常把表示平面的平行四边形的锐角画成 45 °，且横边长等于其邻边长的 2 倍。
9.1 平面的基本性
▐ 例题
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质3
观察下图，你能发现到什么？
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质3
图形表述：
符号表述： ABC三点不共线推断出有且只有一个平面α，使得A α,B α, C α
即A,B,C不共线 A,B,C确定一平面
文字表述： 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面 .
立体几何
第九章 立体几何
主讲--邓秋阳
立体几何
苏州博物馆新馆 路思义教堂
立体几何
卢浮宫
立体几何
香港中银大厦
立体几何
立体几何
为什么学习立体几何
有的同学会问道：老师，我们现在学习立体几何由有什么用处，完全是为了应付考试的吧！ 了解它对我们有什么帮助？在生活中我们有运用到它了吗……
立体几何
学习立体几何会让你的立体感增强。以前看不出来的三维图形，现在都能看出来！ 当你的立体感增强后，在思考问题时，能做到从多个角度立体地看问题！ 你会发现实际中的应用实在是太多了，在我们生活中是随处可见的！
画表示非水平非竖直放置的平面时，只要将 锐角画成不等于45°即可 .
9.1 平面的基本性
▐ 平面的画法
(3)在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画.
9.1 平面的基本性
▐ 例题
判断下列说法是否正确？ (1) 两个平面比一个平面厚 ; (2) 圆和平面多边形都可以表示平面 ; (3) 用平行四边形表示平面时，平行四边形的四边是这一平面的边界； (4) 任何一个平面图形都是一个平面 ;.
以长方体为例，长方体由六个矩形 ( 包括内部 ) 围成 围成长方体的各个矩形叫做长方体的面 相邻两个面的公共边叫做长方体的棱 棱和棱的公共点叫做长方体的顶点
思考一下： 长方体有几个面？几条棱？几个顶点？
立体几何
平面的基本性质
9.1 平面的基本性质
生活中有没有“平面”呢？
9.1 平面的基本性质
▐ 平面的概念
9.1 平面的基本性
▐ 平面的基本性质1的作用
（1）作为判断和证明直线是否在平面内的依据，即只需要看直线 上是否有两个点在平面内就可以了；
（2）基本性质1可以用来检验某一个面是否为平面，检验的方法为： 把一条直线在面内旋转，固定两个点在面内后，如果其他点也在面内， 则该面为平面.
PS：将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平 整。