画异面直线时，通常用一个或两个平面衬托，以显示出它们不共面的 特点，如下图所示．
如右图所示，将平面 α 内的四边形 ABCD 的两条边 AD 和 DC，沿着对角线 AC 向上折起，使点 D 折叠到 D1 的位置．此时， A，B ，C ，D1 四点不在同一个平面内，四边 形 ABCD1 称为空间四边形．
9.3.2 直线与平面所成的角 1．直线与平面相交 如果直线 l 和平面 α 内的任意一条直线都垂直，那么就称直线 l 与
平面 α 垂直，记作 l α ．直线 l 称为平面 α 的垂线，垂线 l 与平面 α 的交点称为垂足．
画直线和平面垂直时，要把直线画 成与平行四边形的横边垂直，如图所示， 其中，点A是垂足．
（a）
（b）
为了简便，点 O 可以在两条异面直线中的一条上选取．例如，在 图中，点 O 选取在直线 b 上，过点 O 作 a∥a ，a 与 b 所成的角 θ 就是 异面直线 a ，b 所成的角．
例题解析
例 1 如图所示正方体，求直线 BA1 和 CC1 所成角的大小．
解 因 CC1 ∥BB1 ，所以直线 BA1 和 BB1 所成的角就是直线 BA1 和 CC1 所成的角．
9.2 直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
9.2.1 直线与直线平行 1．直线与直线的位置关系
如图所示，观察教室里墙与墙的交线，可以发现， AB∥CD ， AB∥C1D1 ；AB 与 BC 相交于点 B；而 AB 与 A1D1 ，既不相交，也不平 行，它们不同在一个平面内．
空间两条直线有以下三种位置关系： 相交——两直线在同一平面内，有且 仅有一个公共点； 平行——两直线在同一平面内，没有 公共点； 异面——两直线不同在任何一个平面 内，没有公共点．
数学（基础模块）下册
第九章 立体几何
现实世界中有各种各样形状的物体，但如果不管它们是什么物 体，只观察它们的形状，把它们抽象成数学上的图形，那么这些图 形都是由点、线、面构成的．
点、线（特别是直线）、面（特别是平面）是空间的三种基本 要素．空间中的许多图形都是由点、直线（或它的一部分）、平面 （或它的一部分）构成的．
公理2 如果两个不同的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过 这个点的公共直线．
此时，称这两个平面相交，这 条公共直线称为两个平面的交线．
如图所示，平面 α 和平面 β 相交， 交线为 l，记作 α I β l ．
引例
一扇门采用两个合页和一把锁就可以 固定；支承架常采用三个脚．
公理3 经过不在同一直线上的三个点， 有且只有一个平面．
这里“有且只有一个平面”，也就 是“确定一个平面”．因此平面”．
根据公理1和公理3，还可以得出以下三个推论： 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面（如图 （a）所示）． 推论2 经过两条相交直线，可以确定一个平面（如图（b）所示）． 推论3 经过两条平行直线，可以确定一个平面（如图（c）所示）．
9.1 9.2 9.3 9.4 9.5
• 平面的基本性质
• 直线与直线、直线与平面、平面 与平面平行的判定与性质
• 直线与直线、直线与平面、平面 与平面所成的角
• 直线与直线、直线与平面、平面 与平面垂直的判定与性质
• 柱、锥、球及其简单组合体
…
9.1 平面的基本性质
9.1.1 平面的概念及表示 数学中的平面是指光滑并且可以无限延展的图形． 为了直观形象，我们通常用一个平行四边形来表示平面，并用小写
（a）
（b）
（c）
例题解析
例2 证明：两两相交且不过同一个点的三条直线共面．
证明 如图所示，设直线 AB ，BC ，CA 两两相交，交点分别为 B ，C ，A ．相交直线 AB 与 BC 确定一个平面 α，于是点 A 和点 C 都在 平面 α 内，从而直线 AC 也在平面 α 内．因此，直线 AB ，BC ，CA 共面．
可以看出，在从平面外一点向这个平面所作的垂线段和斜线段中， 垂线段最短．因此，平面外一点 P 到平面 α 的垂线段的长称为点 P 到 平面 α 的距离．
2．直线与平面所成的角
平面的一条斜线与它在平面 内的射影所成的锐角，称为斜线 和平面所成的角．如图所示，θ 即为直线l与平面α所成的角．
特别地，如果直线与平面垂直，则规定它们所成的角是直角；如果 直线与平面平行或在平面内，则规定它们所成的角为 0°．因此，直线 与平面所成角的取值范围为[0°，90°] 或 [0 ，π] ．
例题解析
例1 如图所示正方体，分别表示出它的6个面．
解 正方体的6个面可以分别表示为： 平面ABCD、平面A1B1C1D1、平面 ABB1A1、平面BCC1B1、平面CC1D1D、 平面ADD1A1．
9.1.2 平面的基本性质
引例 工人铺水泥地面时，用一根直尺来刮平．此时，直尺的下边紧贴
地面，下边上的所有点都在地面上．
2．直线与直线平行的判定与性质 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行． 上述公理也可以表述如下：
设 a ，b ，c 为直线，若 a∥b ，b∥c ，则 a∥c ． a ，b ，c 三条直线两两平行，可以记为 a∥b∥c ．
例题解析
例 1 如图所示，在空间四边形 ABCD 中， E ，F ，G ，H 分别为边
sin
PO PAO
10 sin 45°
14.14(m)
，
PB
sin
PO PBO
10 sin 60°
11.55(m)
．
斜线在地面上的投影 OA 和 OB 的长度分别为
OA
tan
PO PAO
10 tan 45°
10(m)
，
OB
tan
PO PBO
面面平行判定定理的应用实例： 用平板仪进行测量时，先要用水平仪在平板上交叉放置两次，如果 水平仪的气泡两次都居中，就说明平板和地面平行．
例题解析
例 3 如图所示空间四边形 ABCD 中， E ，F ，G ，H 分别为边 AB ，BC ，CD ，DA 的中点，试判断平面 EG 与直线 BD 是否平行？平面 EG 与直线 AC 是否平行？
2．直线与平面平行的判定与性质
直线与平面平行的判定定理 如果平 面外的一条直线与平面内的一条直线平 行，那么这条直线和这个平面平行．
直线和平面平行的性质定理 如果 一条直线和一个平面平行，并且经过 这条直线的一个平面和这个平面相交， 那么这条直线和交线平行．
例题解析
例 2 如图所示， α I β CD，α I γ EF ，β I γ AB ，AB∥α ，求 证： CD∥EF ．
证明 因为 β I γ AB ，所以直线 AB 为平面 β 和 γ 的交线． 又因 α I β CD ，α I γ EF ，且 AB∥α ，根据直线和平面平行的 性质定理可得
AB∥CD ，AB∥EF ． 所以
CD∥EF ．
9.2.3 平面与平面平行 1．平面与平面的位置关系 空间两个平面的位置关系只有两种：
AB ，BC ，CD ，DA 的中点．证明：四边形 EFGH 是一个平行四边形．
证明 因 E ，F 分别为边 A B，B C的中点，即 EF 为△ABC 的中位
线，所以
EF ∥AC ，且 EF 1 AC ． 2
同理可得
GH ∥AC ，且 GH 1 AC ． 2
因此，
EF ∥GH ，且 EF GH ，
长，以及它们在地面上的投影 OA 和 OB 的长．
PB解O分析6由0°题，△P意OP可OA1知0和，m△在，P直因O角此B，△是斜P直O边A角的和三长△角度P形分O别，B 为现中知，道P一AO个锐45角° 及， PO 的
长度，利用三角函数可求出斜边的长度及斜线在地面上的投影 OA 和
OB 的长度．
PA
即四边形 EFGH 是平行四边形．
9.2.2 直线与平面平行 1．直线与平面的位置关系 直线与平面有以下三种位置关系：
直线在平面内——直线与平面有无穷多个公共点； 直线与平面相交——直线与平面有且只有一个公共点； 直线与平面平行——直线与平面没有公共点．
直线与平面相交及直线与平面平行统称为直线在平面外．
因 在 直 角 △ ADB 和 △ ADC 中 ， 有 一 条 公 共 边 AD ， 且 ABD ACD ，所以 Rt△ADB 全等于 Rt△ADC，于是有 AB AC ．
例 3 如图所示，将 10 m 高的旗杆 PO 直立在地面上，绳子 PA，PB 分别和地面成 45°和 60°． O ，A，B 都在地面上，求绳子 PA 和 PB 的
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的 所有点都在这个平面内．
直线和平面都可以看作点的集 合．如图所示，点 A，B 在直线 l 上， 记作 Al ，B l ；点 A，B 在平面 α 内，记作 Aα ，B α ；直线 l 在平 面 α 内，记作 l α ．
引例
教室的天花板和一面墙在墙角有一个公共点，观察可以发现，除了这个 点外，它们还有其他的公共点，这些公共点的集合就是天花板和墙的交线．
如图所示，过一点 P 向平面 α 作垂线，垂足 A 称为点 P 在平面 α 内的射影，点 P 与垂足 A 间的线段 PA 称为垂线段．
直线 PB 与平面 α 相交但不垂直，称直线 PB 与平面 α 斜交，直线 PB 称为平面 α 的斜线，斜线 PB 与平面 α 的交点 B 称为斜足．点 P 与 斜足 B 之间的线段 PB 称为点 P 到平面 α 的斜线段．过垂足 A 和斜足 B 的直线 AB 称为斜线在平面内的射影．
相交——两个平面有一条公共直线．
平行——两个平面没有公共点；
如果两个平面没有公共点，那么 称这两个平面互相平行．平面 α 和平 面 β 平行，记作 α ∥ β ．画两个互相 平行的平面时，应使两个平行四边形 的对应边分别平行，如图所示．