若 (x, y) = (x, z) ， 则 必 有 y = z ；（ 3 ） 对 于 任 意 的 x, y, z 及 λ, μ ∈ F ，
(z,λx + μ y) = λ (z, x) + μ(z, y) 。
例 1 Cn （或 R n ）上的内积 对于任意的 x = (x1, x2 ,L, xn ) 与 y = ( y1, y2 ,L, yn ) ∈ Cn ，
正交投影，且存在 x0 ∈ M , x1 ∈ M ⊥ 使 x = x0 ⊕ x1 。
x 注：对于 Hibert 空间 H 任意一个闭的子空间 M，由投影
定理， H = M ⊕ M ⊥ 。
x0
均方逼近： 设 f ∈ L2[a, b] ，要求用 L2[a,b] 中的函数
φ1(t) ，φ2 (t) ，…，φn (t) 的线性来表示 f，使均方误差最小，即找α1,α2 ,L,αn ∈ C
第三章 Hilbert 空间与共轭算子
§1 内积空间与 Hilbert 空间
一 内积的概念 定义 设 X 为数 域 F(R 或 C)上的一个线性空间，若有映射 (⋅,⋅) : X × X → C ，满足
(1) 对任意的 x ∈ X ， (x, x) ≥ 0, 且 (x, x) = 0 ⇔ x = θ
∫ （x, y）=
∞
x(t) y(t) dt
-∞
引理 （Cauchy-Schwarz）设 X 为一个内积空间， x, y ∈ X ，则
| (x, y) |≤ (x, x) ( y, y)
（Cauchy－Schwarz 不等式）
并且等式成立的充要条件是 x 与 y 线性相关，即，存在常熟 λ 使 x = λ y 或 y = λ x 。
(y, y)
( y, y)
所以| (x, y) |≤ (x, x) ( y, y) 。当 x 与 y 线性相关时，Cauchy－Schwarz 不等式的等号明
显 成 立 。 反 过 来 ， 若 Cauchy － Schwarz 不 等 式 的 等 号 成 立 ， 则 对 λ = ( y, x) 。 (y, y)
度量空间
平行四边形定律
{ } (3) (x, y) = 1 || x + y ||2 − || x − y ||2 +i || x + iy ||2 −i || x − iy ||2 4
(4) 内积是连续的；
极化恒等式
证明：
x x+y
x-y y
§2 正交性与正交分解
以下总设 H 为一个 Hilbert 空间 (⋅,⋅) 为它的内积。
意 g ∈ G ，φg (t) ≥ φg (0) =|| x − x0 ||2 。而
φg (t) =|| x − x0 − t(x0 − g) ||2 = ( x − x0 − t(x0 − g), x − x0 − t(x0 − g)) ，
=|| x − x0 ||2 −2t Re(x − x0 , g − x0 ) + t2 || g − x0 ||2
n
∑ (x, y) = xi yi =x1 y1 + x2 y2 L + xn yn i =1
例 2 l 2 的内积 设 x = (x1, x2 ,L), y = ( y1, y2 ,L) ∈ l2 ，
∞
∑ (x, y) = xi yi i =1
例 3 L2 (R) 上的内积
对 x(t), y(t) ∈ L2 (R) ，
使达到最小。
由 正 交 原 理 ， 应 求 解 f − α TΦ ⊥ φ1,φ2 ,L,φn ， 这 里 α = (α1,α2 ,L,αn )T ，
lim
t →0+
φg
(t)
− φg t
(0)
=
−2
Re( x
−
x0 ,
g
−
x0 )
≥
0
，
所以 φg (t) ≥ φg (0) =|| x − x0 ||2 ⇔ Re(x − x0 , g − x0 ) ≤ 0 。
注 ： 在 复 的 Hilbert 空 间 中 ， 向 量 x,y 的 夹 角 定 义 为 θ = arccos Re(x, y) 。 所 以 || x || || y ||
所以 x1 = x2 。
(2) 设 x0 为 x 在 M 中 的 正 交 投 影 ， 对 于 任 意 的 m ∈ M ，
|| x − m ||2 =|| x − x0 + x0 − m ||2 =|| x − x0 ||2 + || x0 − m ||2 ≥|| x − x0 ||2 , 所以
|| x − m ||≥|| x − x0 || ，从而 d (x, M ) =|| x − x0 || ，即 x0 为 x 在 M 中的最佳逼近元。
||
x
−
xn
||≤
d
+
1 n
,
n
=
1,
2,L
。下证
{xn
}∞ n=1
为一个
Cauchy
序列。
对于任意 n, m > 1 ，
2 ⎜⎝⎛ ||
xn
− xm 2
||2
+
||
x−
xn
+ xm 2
||2
⎞ ⎟⎠
=||
x−
xn
||2
+ ||
x−
xm
||2 ，
于是
( ) || xn − xm ||2 = 1
2
2
x 在 G 中的最佳逼近元的充分必要条件是
对于任意的 g ∈ G ， Re(x − x0 , g − x0 ) ≤ 0
证明： 对于任意的 g ∈ G ，由 G 的凸性， tg + (1− t)x0 ∈ G ， 0 ≤ t ≤ 1.
令φg (t) =|| x − [tg − (1− t)x0 ] ||2 。则可以知道， x0 为 x 在 G 中的最佳逼近元等价于 对任
inf
x '∈M
||
x
−
x
'
||
=
||
x
−
x0
||
.
（4） 向量 x 在子空间 M 中的最佳逼近 x0 是它在 M 中的正交投影。
证明：(1)设 x0 , x1 是 x 在 M 中的两个正交投影，则
|| x1 − x0 ||2 = (x1 − x0 , x1 − x0 ) = (x1 − x + x − x0 , x1 − x0 ) = (x − x0 , x1 − x0 ) − (x − x1, x1 − x0 ) = 0
|| x − xn ||2 + || x − xm ||2
− || x − xn + xm ||2 2
≤
1 2
⎛ ⎜⎝
d
+
1 n
⎞2 ⎟⎠
+
1 2
⎛ ⎜⎝
d
+
1 m
⎞2 ⎟⎠
−
d
2
(注意，这里用了
G
的条件)所以
lim
m,n→∞
||
xm
−
xn
||=
lim
m,n→∞
2
||
xm − xn 2
||2
= 0 。所以{xn}∞n=1
命题
设 x, y ∈ H
，
λ
∈
C
，
{xn
}∞ n=1
⊂
H
， xn
→
x '(n → ∞) ；
x
（1） 若 x ⊥ y ，则|| x + y ||2 =|| x ||2 + || y ||2 （勾股定理）；
（2） 若 x ⊥ xn ,n = 1, 2,L ，则 x ⊥ x ' ；
（3） 若 x ⊥ x1, x ⊥ x2 ，则 x ⊥ λ x1 + μ x2 ， ∀λ, μ ∈ C 。
(3) 设 x0 为 x 在 M 中的最一个佳逼近元，对于任意的 λ ∈ C, m ∈ M ，则有
|| x − x0 ||≤|| x − (x0 − λm) || ,
所以，
|| x − (x0 − λm) ||2 = (x − x0 , x − x0 ) − λ(m, x − x0 ) − λ (x − x0 , m)+ | λ |2 (m, m) ， =|| x − x0 ||2 −2 Re λ(m, x − x0 )+ | λ |2|| m ||2 ≥|| x − x0 ||2
证明：
x+y y
正交投影 设M为H的一个子空间， x ∈ H 。若 x0 ∈ M 使 x − x0 ⊥ M ，称 x0 为x在M中的
正交投影。 命题 （1）一个向量的正交投影是唯一的；
x-x0 x x0
（2）若 x0 为 x 在子空间 M 中的正交投影，则 x0 为 x 在
M 中的最佳逼近元。即，
dist(x,M)=
当
m
=
θ
时，
(m,
x
−
x0
)
=
0
。当
m
≠
θ
时，令
λ
Hale Waihona Puke =(x − x0 , m) || m ||2
，代入上式可得
0
≤||
x
−
x0
||2 ≤||
x
−
x0
||2
−|
(x
− x0 , m) || m ||2
|2
可得 (x − x0 , m) = 0 。
所以， x − x0 ⊥ M ，即 x0 是它在 M 中的正交投影。