3.5 希尔伯特空间的自伴算子酉算子和 正规算子
3.5.1 自伴算子 定义3.5.1（自伴算子）设 H 为希尔伯特 空间， T：H → H 为有界线性算子，若 T 的希尔伯特伴随算子 T* 满足 T* = T ，即 有关系
< T x , y > = < x , T y > （x，y ∈ H ）
则称 T 为自伴算子或厄米特算子。
定义3.5.7（正规算子）
设பைடு நூலகம்H 为希尔伯特空间，T：H→H 是
有界线性算子，若T T* = T* T，则称 T 为
正规算子。
3.5.3 正算子
自伴算子可以比较大小：
定义3.5.8（正算子）设 H 为复希尔伯特
空间， T：H→H 为自伴算子，如果 T ≥
0，即
< T x， x > ≥ 0 任意 x ∈ H
必要条件是其乘积可交换，即有
T1 T2 = T2 T1
定理 3.5.4
设 T 为希尔伯特空间 H 的自伴算子，
I 为恒等算子，λ 为实数，则 λ I - T 也 是自伴算子。
3.5.2 酉算子和正规算子
定义3.5.5（酉算子）设 H 为希尔伯特空 间，T：H → H 是有界线性算子，若 T 是
一双射且 T* = T-1，则称 T 为酉算子。
定理3.5.2（自伴性）
设 H 为复希尔伯特空间，T 为 H 到自
身的有界线性算子，则 T 为自伴的充分必
要条件是，对任意的 x ∈ H ，< T x , x >
为实数。 证明：板书。
定理3.5.3（算子积的自伴性）
设 T1 和 T2 是希尔伯特空间 H 上的有
界自伴线性算子，则其乘积也自伴的充分
则称 T 为正算子或非负算子。
定义3.5.10（正定算子）
设 T 是希尔伯特空间 H 上的正算子，
若存在常数 C ＞ 0，使得
< T x，x > ≥ C‖x‖
x∈H
则称 T 为 H 上的正定算子。