课题：数学在生活中的应用本课题分三个部分： 1、分段函数模型在实际问题中的应用2、概率在生活中的应用3、函数在现实生活中的应用第一部分：分段函数在实际问题中的应用数学应用意识的考查是高考命题的指导思想，考查应用意识是通过解答应用问题来体现的，考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实生活的背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决。

我们会遇到如关于醉酒驾车问题、工作安排问题、学生听课注意力问题、通讯话费问题、阶梯电价问题、计程车计费问题、停车费问题、邮资问题、个人所得税等诸如此类问题，加以说明。

一、醉酒驾车问题 举例1. 某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小实际问题(核心) 数学模型 (关键) 还原说明 (验证) 模型的解 (目的)分析模型 (重点)时)变化的规律近似地满足表达式f(x)=()⎪⎩⎪⎨⎧>⋅≤≤-1,10,531532x x x x 。

《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定: 驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.02毫克/毫升.此驾驶员至少要过______小时后才能开车。

(精确到1小时)分析:本题为分段函数型。

根据解答分段函数“对号入座”的解题原则，分别利用两段函数表达式求解。

解析:当0≤x ≤1时,f(x)为增函数，f(x )≥50-2=0.04>0.02；当x>1时, f(x)=()x3153⋅≤0.02得()x31≤301，3x ≥30, 33=27<30, 34=81>30,x ≥4,故该驾驶员至少要过4小时后才能开车.二、工作安排问题举例2. 某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A型零件和1个B 型零件配套组成，每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一种型号的零件。

设加工A 型零件的工人人数为x 名(*∈N x ).⑴分别用含x 的式子表示完成A 型零件加工所需时间和完成B 型零件加工所需时间；⑵为了在最短时间内完成全部生产任务，x 应取何值?解析: ⑴生产150件产品，需加工A 型零件450个，则完成A 型零件加工所需时间f(x)=()491,905450≤≤∈=*x N x x x . 生产150件产品，需加工B 型零件150个，则完成B 型零件加工所需时间g(x)=()()491,5050503150≤≤∈=*--x N x x x . (2)设完成全部生产任务所需时间为h(x)小时，则h(x)为f(x)与g(x)的较大者。

令f(x)≥g(x)，即x 90≥x-5050，解得1≤x ≤3271.所以当1≤x ≤32时，f(x)>g(x)，当33≤x ≤49时，f(x)<g(x)。

故h(x)=()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈≤≤∈*-*4932,,321,,505090x N x x N x x x 。

当1≤x ≤32时，h(x)在[1,32]上单调递减，则h(x)在[1,32]上的最小值为h(32)=16453290=(小时)，当33≤x ≤49时，故h(x)在[33，49] 上单调递增，则h(x)在[33，49] 上的最小值为h(33)= 1750335050=-(小时).因为h(33)> h(32)，所以h(x)在[1,49] 上的最小值为h(32).所以x=32.故为了在最短时间内完成全部生产任务，x 应取32.点评:本题主要考查分段函数，反比例函数及其性质等基本知识，同时考查数学建模能力及应用意识。

本题的理解有一定难度。

三、学生听课注意力问题举例3 . 通过研究学生的学习行为，心理学专家发现学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散。

设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生注意力越集中)，经过试验分析得知:f(t)=40203807)2010(240)100100242t t t t t t (1) 讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中?能持续多少分钟?(2) 讲课开始25分钟与讲课开始5分钟时，学生的注意力哪时更集中?(3) 一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目?解析:(1) 当0<t ≤10时,f(t)=-t 2+24t+100=-(t-12)2+244是增函数，且f(10)=240. 当10<t ≤40时, f(t)=-7t+380, 是减函数，且f(20)=240.所以，讲课开始10分钟学生的注意力最集中，能持续10分钟.(2) f(5)=195，f(25)=205，故讲课开始25分钟时学生的注意力比讲课开始5分钟时更集中(3) 当0<t ≤10时,f(t)=-t 2+24t+100=180，则t=4；当10<t ≤40时, f(t)=-7t+380=180，t ≈28.57，则学生的注意力在180以上所持续的时间28.57-4=24.57>24.所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需的状态下讲授完这道题目。

四、商品利润最大问题举例4. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，设月产量为x ，已知总收入满足函数:R （x ）=()()⎩⎨⎧>≤≤-40080000,400040021x x x x (1) 将利润表示为月产量的函数f(x);(2) 每月产量为何值时，公司所获利润最大?最大利润为多少元?( 总收入=总成本+利润)分析: 本题为分段函数型。

根据解答分段函数“对号入座”的解题原则，分别利用两段函数表达式来求新的表达式可求得第(1)小题，然后利用配方法和单调性求解最值。

解析: (1)月产量为x 台，则总成本为20000+100x ，从而f(x)=()()⎩⎨⎧>-≤≤-+-40010060000,400020000300221x x x x x (3) 当0≤X ≤400时,f(x)=-21(x-300)2+25000. 当X >400时, f(x)=60000-100x 是减函数, f(x)< 60000-100×400<25000.故每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元.评注: 本题主要是根据题设条件给出的函数去求，但要注意分段求解，分段函数的最值求法注意取各段的最大(或者最小)者的最大者(最小者)为函数的最值。

五、通讯收费问题举例5. 有甲、乙两家通讯公司，甲公司每月通话的收费标准如图6所示；乙公司每月通话收费标准如表1所示．（1）观察图6，甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是 元；甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为 元；（2）李女士买了一部手机，如果她的月通话时间不超过100分钟，她选择哪家通迅公司更合算？如果她的月通话时间超过100分钟，又将如何选择？解析：1）从图6，可以看出，这是常数函数与一次函数构成的分段函数，当0≤t ≤100时，话费金额y=20；当t ＞100时，话费金额y 是通话时间t 的一次函数，不妨设y=kt+b ，且函数经过点（100，20）和（200，40），所以，⎩⎨⎧=+=+4020020100b k b k ,解得：k=0.2，b=0,所以，y=0.2t, 所以,甲公司用户月通话时间不超过100分钟时应付话费金额是20元；当甲公司用户通话100分钟以后，每分钟的通话费为0.2元；2)仔细观察表1,可以知道乙公司每月通话收费y=0.15t+2.5,当0≤t ≤100时，甲公司的话费金额y=20；乙公司通话收费y=0.15t+2.5=15+2.5=17.5,所以,李女士如果月通话时间不超过100分钟，她选择乙通迅公司更合算；因为，0.15t+2.5=0.2t，所以，t=500，所以，当通话时间t=500分钟时，选择甲、乙两家公司哪一家都可以；因为，0.15t+2.5＞0.2t，所以，t＜500，所以，当通话时间100＜t＜500分钟时，选择甲公司；因为，0.15t+2.5＜0.2t，所以，t＞500，所以，当通话时间t＞500分钟时，选择乙六、生活中的用水用电问题举例6. 为了鼓励节能降耗, 某市规定如下用电收费标准: 每户每月的用电量不超过120 度时, 电价为 a 元/ 度;超过120 度时, 不超过部分仍为a元/ 度, 超过部分为b元/ 度. 已知某用户五月份用电115 度, 交电费69 元, 六月份用电140 度, 交电费94 元.( 1) 求a , b 的值;( 2) 设该用户每月用电量为x ( 度) , 应付电费为y ( 元) .①分别求出0 ≤ x ≤120 和x > 120 时, y与x 之间的函数关系式;②若该用户计划七月份所付电费不超过83元, 问该用户七月份最多可用电多少度?解析：115 a = 69 ,120 a + 20 b = 94.解这个方程组, 得a = 0. 6，b = 1. 1.( 2) ①当0 ≤ x ≤120 时, y = 0 . 6 x .当x > 120 时, y = 120 × 6 + 1 . 1 ( x2120) ,0.即y = 1. 1 x260 .②∵> 120 ×0 . 6 = 72 , ∴y与x 之间的函数83关系式为y = 1. 1 x260 .由题意, 得 1 . 1 x260 ≤83 , x ≤130.∴该用户七月份最多可用电130 度.七、生活中的医疗保险问题举例7. 为了增强农民抵御大病风险的能力,政府积极推行农村医疗保险制度. 我市某县根据本地的实际情况, 制定了纳入医疗保险的农民住院医疗费用的报销规定: 享受医保的农民可在定点医院住院治疗, 由患者先垫付医疗费用,住院治疗结束后凭发票到县医保中心报销.住院医疗费用的报销比例标准如下表:( 1) 设某位享受医保的农民在一次住院治疗中的医疗费用为x 元( x > 100) ,按规定报销的医疗费用为y 元, 试写出y 与x 的函数关系式;( 2) 若该农民在这次住院治疗中的医疗费用为1000 元, 则他在这次住院治疗中报销的医疗费用和自付的医疗费用各为多少元.解: ( 1) y = ( x2100) ×60 % = 0 . 6 x260 ( x> 100)( 2) 当x = 1000 元时, y = 0 . 6 ×1000 260 =600 260 = 540 ( 元)1000 2540 = 460 ( 元)答: 他在这次住院治疗中报销的医疗费用和自付的医疗费用各为540 元和460 元。