23
5.4 图形的三维几何变换—复合变换（）
在ZOX 平面上绕Y轴旋转使l与Z轴重合 d n12 n22 n32 1
cos v v
d
sin
n1 d
n1
v
n
R
y
n
v
24
5.4 图形的三维几何变换—复合变换（）
Step2：绕Z轴旋转
cos
sin 0 0
Rz
(
)
sin
0
cos
0
同样，我们用齐次坐标来表示三维几何变换矩阵
3
变换通式
空间点[x y z] 的四维齐次坐标 [X Y Z H]表示
三维空间点的变换为 [x y z 1] T = [x’ y’ z’ 1]
变换前点的坐标 三维图形的变换矩阵
变换后点的坐标
三维图形变换矩阵通式为4 x 4 方阵
a b c p
T d
e
f
0 0 1 0 0 0 0 1
5.3 图形的三维几何变换—三维基本变换(12)
反射(对称）变换：关于平面对称
4.关于X轴对称
特点：x 值不变，yz坐标符号改变
[x y z 1] T = [x -y -z 1]
5.关于Y轴对称
特点： y 值不变，zx坐标符号改变
[x y z 1] T = [-x y -z 1]
28
感谢各位同学观看！
29
三维组合平移、组合旋转和组合比例变换与二维组合 平移、组合旋转和组合比例变换具有类似的规律。
19
5.3 图形的三维几何变换—三维复合变换(2)
(1)以Ｐ为参考点的比例变换
20
5.3 图形的三维几何变换—三维复合变换(4)
（2）关于任意轴线的三维旋转
直线的单位方向向量n： n n1 n2 n3 n n12 n22 n32 1
将下图的空间四面体连续进行如下变换。写出复合变换矩阵，变 换后图形各点的规范化齐次坐标。 （1）关于点P整体放大2倍 （2）关于Y轴进行对称变换
27
第八讲 作业（2）
2.给定空间任一点Ｐ(x,y,z)及任一平面Ｑ： ax+by+cz+d=0，求Ｐ对Ｑ的对称点P* (x*,y*,z*)的变换
矩阵。
y y’ y
[x y z 1] T = [x+Tx y+Ty z+Tz 1]
z’ z
z
x x’ x
5
5.3 图形的三维几何变换—三维基本变换(2)
例：一单位立方体，现将它沿x方向移动3单位，y方向移动2单 位，z方向移动3.5单位。
1 0 0 0 T 0 1 0 0
0 0 1 0 3 2 3.5 1
[x y z 1] T = [x y z s]=[x/s y/s z/s 1]
② 轴向比例变换
a 0 0 0
y
T 0 e 0 0
0 0 j 0
0 0 0 1
x
z
[x y z 1] T = [ax ey jz 1]=[x’ y’ z’ 1]
若a=e=j,，则图形三方向的缩放比例相同 若aej,，则图形将产生类似变形
绕任意轴旋转
图 绕任意轴P1P2旋转的前4个步骤
5.3 图形的三维几何变换—三维基本变换(11)
反射(对称）变换：关于平面对称
1 0 0 0
1.对OXY平面的反射
特点：x y 值不变，z坐标符号改变
T 0 1 0 0 0 0 1 0
[x y z 1] T = [x y -z 1]
0 0 0 1
z = zcos xsin
矩阵运算的表达式为
z
cos 0 sin 0
x
y z 1 x
y
z
1
0
sin
1 0
0
cos
0 0
0
0
0 1
y
(x, y, z)
x
12
5.3 图形的三维几何变换—三维基本变换(9)
绕三维坐标轴的旋转变换 绕Y轴旋转90°。
13
5.4 图形的三维几何变换--三维基本变换(10)
5.3 图形的三维几何变换—三维基本变换(4)
绕三维坐标轴的旋转变换
绕Z轴的二维旋转很容易推广到三维：
x' xcos ysin y' xsin y cos
z' z
cos sin 0 0
T sin cos 0 0 0 0 1 0
0
0 0 1
即绕Z轴旋转 角
Z坐标不变 X、Y坐标发生变化
2.对YOZ平面的反射
特点：z y 值不变，x坐标符号改变
[x y z 1] T = [-x y z 1]
1 0 0 0
T
0
1 0 0
0 0 1 0
0
0 0 1
3.对XOZ平面的反射
特点：x z值不变，y坐标符号改变
[x y z 1] T = [x -y z 1]
1 0 0 0 T 0 1 0 0
x = xcos ysin
y = xsin +ycos
z = z
矩阵运算的表达式为
z
cos sin 0 0
x
y
z
1 x
y
z
1
sin
cos
0
0
0
0 1 0
0
0
0 1
y
(x, y, z)
x
10
5.4 图形的三维几何变换-三维基本变换(7)
绕X轴旋转
x = x
y = ycos zsin z = ysin +zcos
基本思想：因任意轴不是坐标轴，应设法旋转该轴，使之与 某一坐标轴重合，然后进行旋转变换，最后按逆过程，恢复 该轴的原始位置。
21
5.3 图形的三维几何变换—三维复合变换(5)
（2）关于任意轴线的三维旋转 Step1：作变换让l与z轴重合。
(1a) 平移，使l 过原点(平移) (1b)绕x轴旋转使l位于 ZOX 平面(绕x轴旋转) (1c)绕y轴旋转使得l 与Z轴重合 (绕y轴旋转)
任课教师： 李陶深教授 tshli@
1
1 变换的数学基础 2 计算机图形处理的过程 3 图形的二维几何变换 4 图形的三维几何变换 5 形体的投影变换
2
5.3 图形的三维几何变换—复合二维变换(10)
三维几何变换可由二维几何变换扩展而来，包括: ►三维平移 ►三维旋转 ►三维比例缩放等
x' x dy gz，d, g 0关于x轴方向有错切
y'
y
bx
hz，b,
h
0关于y轴方向有错切
z'
z cx
f y，c,
f
0关于z轴方向有错切
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5.3 图形的三维几何变换—三维复合变换(1)
与二维图形的组合变换一样, 三维立体图形也可通过 三维基本变换矩阵, 按一定顺序依次相乘而得到一个 组合矩阵(称级联), 完成组合变换。
y
(x, y, z)
(x’, y’, z’)Leabharlann x矩阵运算的表达式为
z
1 0 0 0
x y z 1 x y z 1 0 cos sin 0
0 sin cos 0
0
0
0 1
11
5.4 图形的三维几何变换-三维基本变换(8)
绕Y轴旋转
(x’, y’, z’)
x = zsin +xcos
y = y
q
h i j r
l
m
n
s
a b c 3x3
d
e
f
h i j
[l m n] 1 x 3
[p q r]T
[s]1x1
比例、反射、旋转、错切
平移 投影变换 总体比例变换
5.3 图形的三维几何变换—三维基本变换(1)
平移变换:
指空间的立体从一个位置移动到另一位置时，其形 状、大小都不发生变换的变换。
6
5.3 图形的三维几何变换—三维基本变换(3)
相对于原点的缩放变换
变换矩阵主对角线上 的元素a、e、j、s的作用是
1 T 0
0 1
0 0
0 0
是图形产生比例变换。
0 0 1 0
① 全比例变换
0
0
0
s
0<S<1，为图形整体放大
S>1，为图形整体缩小 S<0，为对称变换＋比例变换 S＝1，为恒等变换
0 1
0
0
0
0 0 1
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5.4 图形的三维几何变换—复合变换（）
Step3：旋转轴复位回 原来位置
v 0 n1 0
Ry
(
)
0
n01
1 0 0
0 v 0
0 0 1
1
0
Rx
(
)
0
0
0 n3
v n2
v 0
0 n2
v n3
v 0
0 0
0 1
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第八讲的作业（1）
1. 已知三角形ABC的各个顶点坐标分别为A(1,2), B(5,2), C(3,5),相 对于直线y-x-1=0作对称变换，请写出变换的步骤和每一步的变换 矩阵。
绕另外两个坐标轴旋转变换公式可由上式坐标参数x，y， z循环替换而得到，即 x y z x
Y
Z
X
X Z
Y X
Z Y
5.3 图形的三维几何变换—三维基本变换(5)
绕三维坐标轴的旋转变换
绕坐标轴的逆时针旋转为正旋转。
9
5.4 图形的三维几何变换-三维基本变换(6)