分块加法 设矩阵A与矩阵B的行数和列数， 且采用相同的分块法，则
A11 A21 A= … As1 A12 … A1r B11 A22 … A2r B21 … … … ,B= … As2 … Asr Bs1 B12 … B1r B22 … B2r … … … , Bs2 … Bsr
A11+B11 A12+B12 A21+B21 A22+B22 A+B= … … As1+Bs1 As2+Bs2
第一章 矩阵
§3 分块矩阵
§3 分块矩阵及其运算 一. 基本概念
在许多工程问题的矩阵计算中，由于矩 阵的阶数一般很高，因此，为了使矩阵的结 构更清楚，同时也为了利用矩阵所具有的某 些特点，常常采用分块法，将大矩阵的运算 化成一些小矩阵的运算。
第一章 矩阵
§3 分块矩阵
对于行数和列数较高的矩阵，我们用若干条 纵线和横线将其分成许多个小矩阵，每个小 矩阵称为原来矩阵的子阵或子块，以这些子 块为元素所构成的矩阵称为分块矩阵。 分块矩阵。 分块矩阵
称为分块对角矩阵 准对角矩阵), 称为分块对角矩阵(或准对角矩阵), 分块对角矩阵( 其中A 其中A1, A2, …, As都是方阵. 都是方阵 方阵.
2 0 例如 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 . 2 4
三. 基本运算分块矩阵Leabharlann 着与普通矩阵相类似的运算方法和性质。
E = A 21
O E
0 1 −1 2 B= 1 0 −1 −1
1
0 B11 0 1 = B 4 1 21 2 0
E B 22
E O B11 E 所以 AB = A B E 21 B 22 21 B11 E = A B +B A21 + B 22 21 21 11
O Es
得下面四个矩阵方程 (1 ) A 11 X 11 = E r A X = O (2) 11 12 (3) A 21 X 11 + A 22 X 21 = O A 21 X 12 + A 22 X 22 = E s (4) − 方程 (1 )与 (2 )两边同时左乘 A 111 , 可得
0 2
A1 A= O
故
A1 8 A = O
O A18 = O A2
8
O 8 A2
(2) 设A 是分块对角阵 , 若A的每一个子块 Ai (i = 1,2 ,L , r )都是可逆矩阵 , 则A可逆，
A1 −1 −1 且A =
QT =
, QTQ =
[q1, q2, …, qn]
第一章 矩阵
§3 分块矩阵
QTQ =
q 1T q 2T q nT … … … …
[q1, q2, …, qn]
=
q1Tq1 q1Tq2 … q1Tqn q2Tq1 q2Tq2 … q2Tqn q nT q 1 q nT q 2 … q nT q n … … … …
… … … … . λAs1 λAs2 … λAsr
第一章 矩阵
§3 分块矩阵
3. 分块乘法
设A为m×l矩阵, B为l ×n矩阵, 将它们分块如下 矩阵, 矩阵, A11 A12 … A1t B11 B12 … B1r A21 A22 … A2t B21 B22 … B2r A= … … … … , B= … … … … , As1 As2 … Ast Bt1 Bt2 … Btr 其中A 的列数分别与B 其中Ai1, Ai2, …, Ait的列数分别与B1j, B2j, …, Btj的 行数相等. 行数相等. C11 C12 … C1r t C21 C22 … C2r 其中C 则AB = … … … … , 其中Cij = Σ AikBkj , k=1 Cs1 Cs2 … Csr (i = 1, 2, …, s; j = 1, 2, …, r.)
分块矩阵(partitioned 分块矩阵(partitioned matrix)
1 0 0 3 6 0 1 0 2 5 0 0 1 1 4 1 4 7 0 0 2 5 6 0 0
E3 B = C O2
第一章 矩阵
§3 分块矩阵
二. 常用的分块法 a11 a12 … a1n 1. a21 a22 … a2n A= am1 am2 … amn … … … … … … a11 a21 am1 … … a12 a22 am2 A = [A1, A2, …, An]. [A … … a1n a2n amn … …
− X 11 = A 111 ,
分别代入方程
(3 ), (4 ), 解得
X 12 = O
− − − X 21 = − A 221 A 21 A 111 , X 22 = A 221 .
-1 A11 O ，使AX=E 从而有 X = −1 −1 −1 − A A A A22 22 21 11 所以，A可逆，且A-1 =X。
A2 B2
. L Ar Br
3 4 例 设A = 0 0
解
4 −3 0 0
0 0 2 2
0 0 ,求 A8 . 0 2
3 令 A1 = 4
则
4 2 , A2 = 2 − 3
O A2
注:
假设A、 可以相乘 可以相乘， 假设 、B可以相乘，那么
(1) 分块矩阵的乘法即将 、B的每个 分块矩阵的乘法即将A、 的每个 子块当作矩阵的元素， 子块当作矩阵的元素，按矩阵乘 法的运算规则计算； 法的运算规则计算； (2) 为了使乘法可行，要求A的列的划分与 为了使乘法可行，要求 的列的划分与 B的行的划分完全一致，以保证分块矩 的行的划分完全一致， 的行的划分完全一致 阵可乘，且各子块间的乘法也可行； 阵可乘，且各子块间的乘法也可行； (3) A的行的划分与 的列的划分没有限制。 的行的划分与B的列的划分没有限制 的行的划分与 的列的划分没有限制。
8
1 0 例1 设 A = −1 1 计算 AB。
0 0 0 0 1 1 0 0 −1 2 , B = 1 2 1 0 0 −1 −1 1 0 1
1 0 0 1 4 1 2 0
解： 根据矩阵 A, B的特点, 将A, B分块为 : 1 0 A= −1 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0 0 1
αm = [am1, am2, …, amn], [a
αm
矩阵的分块可以是任意的，具体分块方法的选 取，主要取决于问题的需要和矩阵自身的特点。
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§3 分块矩阵
2. 分块对角矩阵(semi-diagonal matrix) 分块对角矩阵(semiA1 O … O O A2 … O A= …… …… , O O … As
−1
A2
. O −1 As
例
5 设 A = 0 0
5 记 A = 0 0 0 3 2
0 3 2
0 1 1
. 求 A
−1
.
解
其中
−1 1
A1 =
(5 ),
0 A1 1 = O 1 3 A2 = 2
1 −1 − 2 −1
0 2 4 1
1 0 3 3
0 1 3 1
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§3 分块矩阵
4. 分块转置
A11 A21 设矩阵A 设矩阵A = … As1
A12 … A1r A22 … A2r … … … , As2 … Asr … … … … As1T As2T . … AsrT
−1 因为 A21B11 + B21 = 1 − 3 = 0
2 1 0 1 0 − 1 2 + − 1 − 1 1 4 1 0 − 2 4 + − 1 − 1 = − 1 1 2
− 1 2 4 1 3 3 + = A21 + B22 = 1 1 2 0 3 1
所以
B11 AB = A B +B 21 21 11
E = A21 + B22
O A2

1 , 1
− 1 . 3
1 则 A = , 5 1 5 −1 A 从而 = 0 0
1 A = − 2 0 0 1 − 1. 3 − 2
−1 2
例 设 A11 , A 22 分别是 r 阶 , s 阶可逆阵 , O A11 可逆 , 并求出它的逆阵 试证明分块阵 A = A A 22 21 解 设有r + s阶方阵 X , 将X按A相同的分块法
A11T A21T A12T A22T 则AT = … … A1rT A2rT
即分块矩阵转置时，即要把整个分块矩阵转置， 即分块矩阵转置时，即要把整个分块矩阵转置， 又要把其中每一个子块转置。 又要把其中每一个子块转置。
第一章 矩阵
§3 分块矩阵
例如Q [q 例如Q = [q1, q2, …, qn], q11 q12 q1n q21 q22 q2n , …, qn = , 其中q , q2 = 其中q1 = … … … … q n1 q 1T q 2T q nT … … … … q n2 q 1T q 2T q nT … … qnn
X 11 X 12 分块, 分块 设 X = X X 22 21 其中X 11 , X 22分别为 r , s阶方阵 , 令AX = E