2007 年各地中考压轴题汇编 319、（浙江义乌）如图，抛物线y x2 2x 3与x轴交B 两点（ AA、点在 B点左侧），直线l 与抛物线交于 A、C两点，其中 C 点的横坐标为 2．（1）求 A 、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；（2）P是线段 AC 上的一个动点，过 P点作 y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值；（3）点 G抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点F，使 A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由．解：（ 1）令 y=0，解得x1 1或x2 3（1 分）∴A（-1，0）B（3，0）；（1 分）将 C点的横坐标 x=2代入y x2 2x 3得 y=-3，∴C（2，-3）（1分）∴直线 AC 的函数解析式是 y=-x-1（2）设 P点的横坐标为 x（-1≤x≤2）（注： x 的范围不写不扣分）则 P、E 的坐标分别为： P（x，-x-1），（1 分）2E（（x,x2 2x 3）（1 分）22∵P点在 E点的上方， PE=（ x 1）（x2 2x 3） x2 x 2（2 分）19∴当x 时， PE的最大值 = （1 分）24（3）存在 4个这样的点 F，分别是F1（1,0）, F2（ 3,0）, F3（4 7）, F4（4 7）（结论“存在”给 1分，4个做对 1个给 1 分，过程酌情给分）20、（湖北天门）如图所示，在平面直角坐标系内，点 A 和点 C 的坐标分别为（4，8）、（0， 5），过点A作 AB⊥x轴于点 B，过OB上的动点 D作直线 y＝kx＋ b平行于 AC，与 AB相交于点E，连结 CD，过点 E作EF∥CD交AC于点 F。

（1）求经过 A、C 两点的直线的解析式；（2）当点 D 在 OB 上移动时，能否使四边形 CDEF 成为矩形？若能，求出此时 k、－b 的指；若不能，请说明理由；（3）如果将直线 AC 作上下平移，交 y 轴于 C'，交 AB 于 A'，连结 DC'，过点 E 作EF'∥DC '，交 A'C'于 F'，那么能否使四边形 C'DEF '为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由。

C 点坐标用含a ，b ，c ，d ，e ，f 的代数式表示） ；归纳与发现（ 3）通过对图 1，2，3，4 的观察和顶点 C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为 A （a ，b ），B （c ，d ），C （m ，n ），D （e ，f ）（如图 4）时，则四个顶点的横坐标 a ， c ， m ， e 之间的等量关系为 ；纵坐标 b ，d ，n ，f 之间的等量 关系为 （不必证明） ；运用与推广1 5 1 9（ 4）在同一直角坐标系中有抛物线y x 2 （5c 3）x c 和三个点 Gc ， c ， S c ， c ，2 2 2 2H （2c ，0） （其中 c 0）．问当 c 为何值时，该抛物线上存在点 P ，使得以 G ，S ，H ，P 为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的 P 点坐标． 解：（1） （5，2） ， （e c ，d ）， （c e a ，d ）．2）分别过点 A ，B ，C ，D 作 x 轴的垂线，垂足分别为 A 1，B 1， C 1，D 1，21、（江西南昌） 实验与探究 （1）在图1，2，3中，给出平行四边形 ABCD 的顶点 A ，B ，D 的坐标（如图所示） ，写出图 1，2， 图32）在图 ABCD 的顶点A ，B ，D 的坐标（如图所示） ，求出顶点C 的坐标2分4中， 给出平行四边xB （c ，d ）A （a ，b ） D （e ，b ） x分别过A，D作AE BB1于E ，DF CC1于点F．在平行四边形ABCD中，CD BA，又BB1 ∥ CC1 ，EBA ABC BCF ABC BCF FCD 180 ．EBA FCD ．又BEA CFD 90 ，△BEA≌△CFD．······ ···· ······ · ········ ·· 5分AE DF a c ，BE CF d b．设C（x，y）．由e x a c ，得x e c a．由y f d b ，得y f d b ．C（e c a， f d b）．····· · 7 分（此问解法多种，可参照评分）（3）m a c e，n b d f 或m c e a，n d f b．····· 9分（4）若GS为平行四边形的对角线，由（ 3）可得P1（ 2c，7c）．要使P1在抛物线上，则有7c 4c2（5c 3）（ 2c） c，即c2 c 0．c1 0 （舍去），c2 1．此时P1（2，7）．···················10 分若SH为平行四边形的对角线，由（ 3）可得P2 （3c，2c），同理可得c 1，此时P2 （3，2）．若GH 为平行四边形的对角线，由（ 3）可得（c， 2c），同理可得c 1，此时P3（1， 2）．综上所述，当c 1时，抛物线上存在点P ，使得以G，S，H，P为顶点的四边形是平行四边形．符合条件的点有P1（ 2，7），P2（3，2），P3 （1， 2）．····· · ····· ···· ··12分 22、（浙江温州）在ABC 中，C Rt ,AC 4cm, BC 5cm,点D在BC上，且以 CD ＝3cm, 现有两个动点 P、Q分别从点 A和点 B同时出发，其中点 P以1cm/s的速度，沿AC 向终点 C移动；点 Q 以1.25cm/s 的速度沿 BC 向终点 C 移动。

过点 P 作 PE∥ BC 交 AD 于点 E，连结 EQ。

设动点运动时间为 x 秒。

（ 1）用含 x 的代数式表示 AE 、 DE 的长度；（ 2）当点 Q 在 BD （不包括点 B、D）上移动时，设EDQ 的面积为y（cm2），求y与月份x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当x 为何值时，EDQ 为直角三角形。

解：（1）在 Rt ADC 中, AC 4,CD 3, AD 5，EP DC, AEP ADC, AP ,即EA x , EA 5 x,DE 5 5xAC 5 4 4 42） BC 5,CD 3, BD 2 ，EA AD当点 Q 在BD 上运动 x秒后， DQ＝ 2－ 1.25x, 则1 1 5 7y DQ CP （4 x）（2 1.25 x）x2 x 42 2 8 25 2 7 即 y 与 x 的函数解析式为：y x2 x 4 ，其中自变量的取值范围是： 0< x<1.682（3）分两种情况讨论：①当EQD Rt 时，显然有 EQ PC 4 x, 又 EQ AC, EDQ ADC EQ DQ,AC DC ,4 x 1.25x 2即, 解得 x 2.5E43解得 x 2.5②当QED Rt 时，CDA EDQ, QED C Rt , EDQ CDAEQ DQ 5(4 x) 1.25x 2 ,即CD DA 12解得 x 3.1综上所述，当 x 为 2.5 秒或 3.1 秒时，EDQ 为直角三角形。

23、（杭州）在直角梯形ABCD 中，C 90 ，高CD 6cm （如图 1）。

动点P, Q同时从点B出发，点P沿BA, AD,DC 运动到点C 停止，点Q沿BC 运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/ s。

而当点P到达点A时，点Q正好到达点C。

设P,Q同时从点B 出发，经过的时间为t s 时，BPQ 的面积为y cm2（如图 2）。

分别以t, y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P 在AD 边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图 3中的线段MN 。

（ 1）分别求出梯形中BA,AD 的长度；（ 2）写出图 3中M , N两点的坐标；（ 3）分别写出点P在BA边上和DC 边上运动时，y与t的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图 3 中补全整个运动中y关于 t 的函数关系的大致图象。

y△ PMN 是等边三角形， MPB 90 ，图 1）解：（1）设动点出发 t 秒后，点 P 到达点 A 且点 Q 正好到达点 C 时， BC BA t ，则则 BA 10 cm , AD 2 cm ；（2）可得坐标为 M 10,30 , N 12,3013（3）当点 P 在 BA 上时， y t t sinB t 2 0 t 10 ；2 101当点 P 在DC 上时， y 10 18 t 5t 90 12 t 18 图象略24、（金华）如图 1，在平面直角坐标系中， 已知点 A （0，4 3） ，点B 在 x 正半轴上，且∠ABO 30 ．动 点 P 在线段 AB 上从点 A 向点 B 以每秒 3个单位的速度运动， 设运动时间为 t 秒．在 x 轴上取两点 M ，N 作等边 △PMN ．（1）求直线 AB 的解析式；（2）求等边 △PMN 的边长（用 t 的代数式表示） ，并求出当等边 △PMN 的顶点 M 运动到与原点 O 重合时 t 的值；（3）如果取 OB 的中点 D ，以OD 为边在 Rt △AOB 内部作如图 2所示的矩形 ODCE ，点C 在线 段 AB 上．设等边 △PMN 和矩形 ODCE 重叠部分的面积为 S ，请求出当 0≤t ≤2秒时 S 与t 的 函数关系式，并求出 S 的最大值．AP 3t ， BP 8 3 3t ，ADADQ（图 1） （图 2）2）方法一， AOB 90 ， ABO 30 ， AB 2OA 8 3 ，tan PBM PM，PM (8 3 3t) 3 8 t ．PB 3方法二，如图 1，过P分别作PQ y轴于Q，PS x轴于S，可求得AQ 1 AP 3t，22PS QO 4 3 ，2PM 4 33t 38 t，22当点M 与点O 重合时，BAO 60 ，AO 2AP ．4 3 2 3t ，t 2 ．(3)①当0≤ t ≤ 1时，见图 2．设PN 交EC 于点H ，重叠部分为直角梯形EONG ，作GH OB 于H ．GNH 60 ，GH 2 3 ，HN 2 ，PM 8 t ，BM 16 2t ，OB 12 ，ON (8 t) (16 2t 12) 4 t ，OH ON HN 4 t 2 2 t EG ，S 1 (2t 4 t) 2 3 2 3t 6 3 ．2S随t 的增大而增大，当t 1 时，S最大8 3 ．②当1 t 2 时，见图 3．设PM 交EC 于点I ，交EO于点F ，PN交EC于点G，重叠部分为五边形OFIGN ．yMOGCHND方法一，作GH OB于H，FO 4 3 2 3t ，EF 2 3 (4 3 2 3t) 2 3t 2 3 ，2 3t 63 1(2t 2)(2 3t 2 3) 2 3t 26 3t 4 3 ．2方法二，由题意可得 MO 4 2t ，OF (4 2t) 3，PC 4 3 3t ，PI 4 t ，43 (8 t)2 43(4 t)2 12(4 2t)232 3t 26 3t 4 3 ．当1 t 2时， S 2 3t 26 3t 4 3 ； 当 t 2 时， S 8 3 ．17 3S 的最大值是．225、(宁波)四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另 一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图 l ，点 P 为四边形ABCD 对角线 AC 所在直线上的一点， PD=PB ，PA ≠ PC ，则点 P 为四边形 ABCD 的准等距点．(1) 如图 2，画出菱形 ABCD 的一个准等距点．(2) 如图 3，作出四边形 ABCD 的一个准等距点 (尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法 )．EI 2t 2 ， 32 3 0 ， 当 t 时， 2S 有最大值， S最大17 3 2③当 t 2时， MP MN 6，即 N 与 D 重合，设 PM 交 EC 于点 I ， 分为等腰梯形IMNG ，PD 交EC 于点 G ，重叠部 见图 4．S 3 624322 4综上所述：当 0≤t ≤1时， S 2 3t 6 3 ； S S 梯形ONGE S△ FEI再计算S △FMO 1(4 2t)232S△ PMN2(8 t) ，S △ PIG43(4 t)24S S △ PMN S △ PIG S △ FMO(3)如图 4，在四边形 ABCD 中，P是AC 上的点， PA≠ PC，延长 BP交 CD于点 E，延长 DP交 BC 于点 F，且∠ CDF= ∠ CBE， CE=CF ．求证：点 P 是四边形 AB CD 的准等距点．(4)试研究四边形的准等距点个数的情况 (说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明 )．(2)如图 3，点 P 即为所作点．⋯⋯ 无痕迹或痕迹不清晰的酌情扣分 )(3)连结 DB ， 在△DCF 与△ BCE 中， ∠DCF= ∠BCE ， ∠CDF= ∠CBE ， ∠ CF=CE.∴△DCF ≌△ BCE(AAS) ， ∴CD=CB ，∴∠ CDB= ∠ CBD. ⋯⋯⋯⋯ ∴∠ PDB= ∠PBD ，⋯⋯⋯∴PD=PB ，∵PA ≠ PC∴点 P 是四边形 ABCD 的准等距点．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分(4) ①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不 垂直时，准等距点的个数为 0 个； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分②当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的 中点时，准等距点的个数为 1 个； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分③ 当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条 对角线的中点时，准等距点的个数为 2 个；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分④ 四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个． 1 分(．答案不唯一．画图正确，无文字说明不扣分；点 P 画在 A C 中点不给 分 ) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分( 第(4)小题只说出准等距点的个数，不能给满分 )26、(绍兴) 如图，在平面直角坐标系中， O 为原点，点 A 、C 的坐标分别为2，0)、(1， 3 3)．将 OAC 绕AC 的中点旋转 1800，点 O落到点 B 的位置．抛物线 y ax22 3x 经过点 A ，点 D是解： (1)如图 2，点 P 即为所画点．⋯ 分；点 P 画在 AC 中点不给分 )1 分 ( 答案不唯一．画图正确，无文字说明不扣3 分 ( 答案不唯一．作图正确，无文字说明不扣分； 5分6分7分该抛物线的顶点．（1） 求 a 的值，点 B 的坐标；（2） 若点 P 是线段 OA 上一点，且 APD OAB ， 求点 P 的坐标； （3） 若点 P 是 x 轴上一点，以 P 、A 、D 为顶点作平行四边形， 该平行四边形的另一顶点在 y 轴上．写出点 P 的坐标 （直接 写出答案即可 ）．27、（重庆）已知，在 Rt △OAB 中，∠ OAB ＝ 900，∠ BOA ＝300，AB ＝2。