抽象函数问题解法
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数。

它与函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等函数性质联系在一起，具有很强的抽象性。

这类问题主要考查数学思想方法的运用能力，以及对数学语言以及符号的阅读理解能力。

本文结合具体问题分类剖析这类问题的求解策略。

一、利用函数性质的解题思想
函数性质是反映函数特征的主要途径，充分利用题设条件中已表明或隐含的函数性质，选择适当的方法解决抽象函数问题。

1.利用对称性，数形结合
例1：已知函数f（x）对一切实数x都有f（2+x）= f（2-x），如果方程f（x）=0恰好有4个不同的实根，求这些实根之和。

策略：由f（2+x）= f（2-x）可知是函数图像关于直线x=2对称。

又f（x）=0四个根按由小到大的顺序可设为x1、x2、x3、x4，则x1+x4=2×2=4，x2+x3=2×2=4，∴x1+x2+x3+x4=8。

2. 利用奇偶性分析函数特征
例2：已知函数f（x）=ax+bsinx+3，且f（-3）=7，求f（3）的值。

策略：注意到g（x）=ax+bsinx=f（x）-3是奇函数，可得g（-3）= -g（3），即f（-3）-3= -[f（3）-3]，f（3）=6-f（-3）= -1。

3. 利用单调性等价转化
例3：已知奇函数f（x）在定义域（－１，1）上是减函数，试求满足不等式f（１－a）+f（1-a2）4.利用周期性研究函数特征例4：已知f（x）是定义在正整数集上的函数，对任意正整数x 都有f（x）=f（x-1）+f（x+1），且f（1）=2002，求f（2002）。

分析：根据x的任意性，判断函数的周期。

略解：由f（x）=f（x-1）+f（x+1），可得：f（x+3）=-f（x）。

∴f（x+6）=-f（x+3）=[-f（x）]=f（x），
∴f（x）是以6为周期的周期函数，
∴f（2002）=f（333×6+4）=f（４）＝f（３＋１）＝－f（１）＝－２００２。

注：对这一类抽象函数求值问题，利用周期性研究其特征求解。

二、研究抽象函数的背景，利用具体模型函数求解
大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得的，解题时，若能从研究抽象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，进行分析、类比，确定具体的函数模型，据此求解。

例5：已知函数f（x）对任意实数x、y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在区间[－2，1]上的值域。

简析：由题设可知，可确定函数y=kx，（k≠0）为模型函数。

解：设x1０，∵当x>0时，f（x）>0，∴f（x2－x１）>0，
∵f（x2）＝f［（x2－x１）＋x１）］＝f（x2－x１）＋f（x１），
∴f（x2）－f（x１）＝f（x2－x１）>0，即f（x2）>f（x１），∴f（x）为增函数。

在条件中，令y＝－x，则f（0）=f（x）+f（－x），再令x＝y ＝0，则f（0）＝2f（0），∴f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f （x）为奇函数，
∴f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2 f（－1）＝－4，∴f（x）的值域为［－4，2］。

例6：设函数y=f（x）定义在r上，对于任意实数x、y，有f （x＋y）＝f（x）f（y），且当x>0时，01；②求证：f（x）在r
上递减。

简析：由题设可猜测f（x）的解析式，可确定指数函数y=ax为模型函数，从而猜想f（0）＝1，且f（x）＞0。

当x>0时，0证明：①f（0）=f（0+0）=f（0），得f（0）=1或0。

有f（1）=f（1+0）=f（1）·f（0）>0，∴f（0）≠0，∴f（0）=1。

f（0）=f（x－x）＝f（x）·f（-x），∴f（-x）=1/f（x）。

当x>0时，-x0时，01，∴当x1。

②从已知和以上证明得f（x）＞0，
设x10，∵当x>0时，0f（x2-x1）>０，
0 f（x2），
∴ f（x）在r上递减。

三、利用特殊化的方法求解
利用一些特殊化数学思想求解，有时会收到事半功倍的效果。

例7：已知定义域为(0，+∞)的函数f（x），对于任意的x>0、y>0时，恒有f（xy）=f（x）+f（y）。

(1)求证：当x>0时，f（）=-f（x）；
(2)若x>1时，恒有f（x）0时，f（）=-f（x）。

(2)设x1>0、x2>0，且x11，∴f（）<0，
在f（xy）=f（x）+f（y）中，令x=x2，y=，
∴f（x2·）=f（x2）+f（），由(1)得，f（）=f（x１），
∴f（）=f（x2）-f（x１） <0，∴f（x2）<f（x1），
∴f（x）在(0，+∞)上单调递减，故f（x）必有反函数。

注：根据题设条件挖掘函数性质，合理赋值，可使这类抽象函数问题迅速获解。

分析题设条件，推断函数的性质和特征，综合运用几种方法，获得解题思路，解决抽象函数问题。

通过对抽象型函数问题的解题思想的探求，可以提高学生分析问题和解决问题的能力，提高学生数学思维的水平，培养学生的创新能力。

【责编郭晓莉】。