抽象函数解题策略抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性【题型1】定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。

【例1】⑴若函数(21)f x -的定义域为{}|13x x ≤<，则函数()f x 的定义域为 ⑵若函数()f x 的定义域为{}|13x x ≤<，则函数(21)f x -的定义域为【题型2】求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。

怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验。

紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。

【例2】已知()f x 的定义域为R +，且()()()f x y f x f y +=+对一切正实数,x y 都成立，若(8)4f =，则(2)_____f =【分析】在条件()()()f x y f x f y +=+中，令4x y ==，得(8)(4)(4)2(4)4f f f f =+==，(4)2f ∴=，又令2x y ==，得(4)(2)(2)2,(2)1f f f f =+=∴=。

1.()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意正实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+且(4)2f =，则_____f =122.若()()()f x y f x f y +=且(1)2f =，则 (2)(4)(6)(2000)______(1)(3)(5)(1999)f f f f f f f f ++++= 20002222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8)______(1)(3)(5)(7)f f f f f f f f f f f f +++++++=16【提示】()2n f n =3.对任意整数,x y 函数()y f x =满足()()()1f x y f x f y xy +=+++，若(1)1f =，则(8)_____f -=194.函数()y f x =为R 上的偶函数，对x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，若(1)2f =，则(2005)______f =25.已知a 为实数，且01,()a f x <<是定义在[]0,1上的函数，满足(0)0,(1)1f f ==，对所有的x y≤均有()(1)()()2x y f a f x af y +=-+，则____a =；1()_____7f =。

【解析】2113()(),()(1)244f a f a f a a a =∴==-+ ，又213144()()(1)[(1)]22f f a a a a a a +==-++-，解得12a =；设1()7f b =，则2011227()()(),()272277f f f f b +==∴=，同理311()3,,(1)7,()777f b f b f b ==∴== 。

【题型3】判断奇偶性根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求()f x 与()f x -的关系。

【例3】已知()f x 的定义域为R ，且对任意实数,x y 满足()()()f xy f x f y =+，求证：()f x 是偶函数。

【分析】在()()()f xy f x f y =+中，令1x y ==，得(1)(1)(1)(1)0f f f f =+⇒=，令1x y ==-，得(1)(1)(1)(1)0f f f f =-+-⇒-=，于是()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-+=，故()f x 是偶函数。

【题型4】判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，多用定义法解决。

【例4】函数()()f x x R ∈，当0x >时，0()1f x <<，且对任何实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=，试判断函数()f x 的单调性。

【解析】令0x y ==，则有2(0)(0)f f =，故有(0)0f =或(0)1f =又有(1)(0)(1)0f f f =>而(1)0,(0)1f f ≠=。

①当0x >时，0()1f x <<，当0x <时，0x ->，故有0()1f x <-<，而()()(0)1f x f x f -==，故有1()10()f x f x =>>-。

又当0x =时，(0)10f =>，故对于任何x R ∈，有()0f x >。

令122121,0,0()1x x x x f x x -∞<<<+∞->∴<-< ，故21211211()[()]()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=⋅-<，所以函数()f x 是减函数。

【例5】已知函数()f x 对任何正数,x y 都有()()()f xy f x f y =,且()0f x ≠,当1x >时,()1f x <。

试判断()f x 在(0,)+∞上的单调性,并说明理由。

【解析】对x R +∈有2()0f x f f ==≥，又()0f x ≠，故()0f x >，设12,x x R +∈，且12x x <，则211xx >，则221121121111()()()()()1()()()x xf x f f x f x x x x f f x f x f x x ⋅⋅===<，所以12()()f x f x >,故()f x 在x R +∈上为减函数。

1.如果奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[7,3]--上是【B 】 A. 增函数且最小值为5- B. 增函数且最大值为5- C. 减函数且最小值为5- D. 减函数且最大值为5-2.设函数()f x 对任意实数,x y ，都有()()()f x y f x f y +=+,若0x >时()0f x <,且(1)2f =-,求()f x 在[]3,3-上的值域为 []6,6-3.已知函数()f x 对任意实数,x y 均有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0,(1)2f x f >-=-，则函数()f x 在区间[]2,1-上的值域为4.设()f x 定义于实数集上，当0x >时，()1f x >,且对于任意实数,x y ，有()()()f x y f x f y +=， 求证：()f x 在R 上为增函数。

【证明】设R 上12x x <，则[][]21212111211()1,()()()()()1()f x x f x f x f x x x f x f x x f x ->-=-+-=--(注意此处不能直接得大于1()f x ，因为1()f x 的正负还没确定) 。

取0x y ==得(0)0f =或(0)1f =;若(0)0f =,令0,0x y >=，则()0f x =与0x >时，()1f x >矛盾，所以(0)1,0f x =>时，()10,0f x x >><时，0,()1,x f x ->->∴由1(0)()()1()0()f f x f x f x f x =-=⇒=>-，故()0f x >，从而21()()f x f x >，即()f x 在R 上是增函数。

5.已知函数()f x 的定义域为R ，且对,m n R ∈,恒有()()()1f m n f m f n +=+-,且1()02f -=,当12x >-时，()0f x >。

求证：()f x 是单调递增函数。

【证明】设12x x <,则211122x x -->-,由题意2111()()022f x x f -->-=,[]212111211121()()()()()()1()()1f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=-+-=-+--=-- 212111()()1()0,()22f x x f f x x f x =-+--=-->∴是单调递增函数。

6.已知偶函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=，⑴()f x 在(0,)+∞上是增函数；⑵解不等式2(21)2f x -< 【解析】⑴设210x x >>，则222211111111()()()()()()()()x x x f x f x f x f x f x f f x f x x x -=⋅-=+-= 2221110,1,()0x xx x f x x >>∴>∴> ，即2121()()0,()(),()f x f x f x f x f x ->∴>∴在(0,)+∞上是增函数；⑵(2)1,(4)(2)(2)2,()f f f f f x =∴=+= 是偶函数，∴不等式2(21)2f x -<可化为2(21)(4)f x f -<，又 函数在(0,)+∞上是增函数，20214x ∴≠-<，解得{|x x x <<≠。

7.定义在R 上的单调函数()f x 满足2(3)log 3f =且对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+。

⑴求证：()f x 为奇函数； ⑵若(3)(392)0x x x f k f ⋅+--<对任意x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围。

【证明】()()()f x y f x f y +=+，①令y x =-，代入①式，得()()()(0)f x x f x f x f -=+-=，令0x y ==，代入①式，得(00)(0)(0)(0)0f f f f +=+⇒=，即()()f x f x =--对任意x R ∈成立，()f x ∴是奇函数。