高考数学总复习第十讲：抽象函数问题的题型综述抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开，教师对教材也难以处理，而高考中又出现过这一题型，有鉴于此，本文对这一问题进行了初步整理、归类，大概有以下几种题型：一. 求某些特殊值这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。

其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。

例1 定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值。

解：由f x f x ()()220-+-=，以t x =-2代入，有f t f t ()()-=，∴f x ()为奇函数且有f ()00=又由f x f x ()[()]+=--44=-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()()()()()84故f x ()是周期为8的周期函数，∴==f f ()()200000例2 已知函数f x ()对任意实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时，f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域。

解：设x x 12<且x x R 12，∈，则x x 210->，由条件当x >0时，f x ()>0∴->f x x ()210又f x f x x x ()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x ()()()2111∴f x ()为增函数，令y x =-，则f f x f x ()()()0=+-又令x y ==0得f ()00=∴-=-f x f x ()()，故f x ()为奇函数，∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，二. 求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

例3 已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足f a f a ()()---<2402，试确定a 的取值范围。

解： f x ()是偶函数，且在（0，1）上是增函数，∴f x ()在()-10，上是减函数，由-<-<-<-<⎧⎨⎩1211412a a 得35<<a 。

（1）当a =2时，f a f a f ()()()-=-=2402，不等式不成立。

（2）当32<<a 时，f a f a f a a a a a a ()()()-<-=-⇔-<-<-<-<->-⎧⎨⎪⎩⎪<<24412014024322222解之得，（3）当25<<a 时，f a f a ()()-<-242=-⇔<-<<-<-<-⎧⎨⎪⎩⎪<<f a a a a a a ()22240210412425解之得，综上所述，所求a 的取值范围是()()3225，， 。

例 4 已知f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，若f m x f m x (sin )(cos )221-≤++对x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围。

解： m x m x m x m x 22223131-≤++≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪sin cos sin cos对x R ∈恒成立⇔-≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪m x m x m x22231sin sin cos 对x R ∈恒成立⇔m x m m x x x 2222311254-≤--≥+=--+⎧⎨⎪⎩⎪s i n s i n cos (sin ) 对x R ∈恒成立，∴-≤--≥⎧⎨⎪⎩⎪∴-≤≤-m m m m 223115421102为所求。

三. 解不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f ”，转化为代数不等式求解。

例 5 已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2223--<的解集。

解：设x x R 12、∈且x x 12<则x x 210->∴->f x x ()212，即f x x ()2120-->，∴=-+=-+->∴>f x f x x x f x x f x f x f x f x ()[()]()()()()()22112111212故f x ()为增函数，又f f f f f ()()()()()3212123145=+=+-=-=∴=∴--<=--<∴-<<f f a a f a a a ()()()1322312211322，即因此不等式f a a ()2223--<的解集为{}a a |-<<13。

四. 证明某些问题例6 设f x ()定义在R 上且对任意的x 有f x f x f x ()()()=+-+12，求证：f x ()是周期函数，并找出它的一个周期。

分析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出f x T f x ()()+=（T 为非零常数）则f x ()为周期函数，且周期为T 。

证明： f x f x f x ()()()()=+-+121 ∴+=+-+f x f x f x ()()()()1232 ()()12+得f x f x ()()()=-+33 由（3）得f x f x ()()()+=-+364由（3）和（4）得f x f x ()()=+6。

上式对任意x R ∈都成立，因此f x ()是周期函数，且周期为6。

例7 已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0时，f x ()>1，求证：（1）x >0时，01<<f x ()；（2）f x ()在R 上为减函数。

证明： 对一切x y R ，∈有f x y f x f y ()()()+=⋅。

且f ()00≠，令x y ==0，得f ()01=，现设x >0，则-<x 0，f x ()->1，而f f x f x ()()()01=⋅-=∴-=>f x f x ()()11 ∴<<01f x ()，设x x R 12，∈且x x 12<，则0121<-<f x x ()，f x f x x x ()[()]2211=-+=-⋅<f x x f x f x ()()()2111∴>f x f x ()()12，即f x ()为减函数。

五. 综合问题求解抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高，解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f ”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f ”。

例8 设函数y f x =()定义在R 上，当x >0时，f x ()>1，且对任意m n ，，有f m n f m f n ()()()+=⋅，当m n ≠时f m f n ()()≠。

（1）证明f ()01=；（2）证明：f x ()在R 上是增函数；（3）设{}A x y f x f y f =⋅<()|()()()，221，B x y f ax by c a b c R a =++=∈≠{()|()}，，，，，10，若A B =∅，求a b c ，，满足的条件。

解：（1）令m n ==0得f f f ()()()000=⋅，∴=f ()00或f ()01=。

若f ()00=，当m ≠0时，有f m f m f ()()()+=⋅00，这与当m n ≠时，f m f n ()()≠矛盾，∴=f ()01。

（2）设x x 12<，则x x 210->，由已知得f x x ()211->，因为x 10≥，f x ()11>，若x 10<时，->->x f x 1101，()，由f f x f x ()()()011=⋅-∴=->=-⋅>∴f x f x f x f x x f x f x f x R ()()()()()()()112211110在上为增函数。

（3）由f x f y f ()()()221⋅<得x y 2211+<()由f ax by c ()++=1得ax by c ++=0 （2）从（1）、（2）中消去y 得()a b x acx c b 2222220+++-<，因为A B =∅ ∴=-+-<∆()()()24022222ac a b c b ，即a b c 222+<例9 定义在（-11，）上的函数f x ()满足（1），对任意x y ，，∈-()11都有f x f y f x y xy()()()+=++1， （2）当x ∈-()10，时，有f x ()>0，（1）试判断f x ()的奇偶性；（2）判断f x ()的单调性；（3）求证f f f n n f ()()()()15111131122+++++>…。

分析：这是一道以抽象函数为载体，研究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为基础去研究数列求和的综合题。

解：（1）对条件中的x y ，，令x y ==0，再令y x =-可得f f f f x f x f f x f x ()()()()()()()()000000+=+-=⎧⎨⎩⇒=-=-⎧⎨⎩，所以f x ()是奇函数。

（2）设-<<<1012x x ，则f x f x f x f x f x x x x ()()()()()121212121-=+-=-- x x x x 1212001-<<<，，∴--<x x x x 121210，由条件（2）知f x x x x ()121210-->，从而有f x f x ()()120->，即f x f x ()()12>，故f x ()()在，-10上单调递减，由奇函数性质可知，f x ()在（0，1）上仍是单调减函数。