BA
O A−B
(3 分)
11a
当
a
∈/
{−2, 1}
时，A
可逆，{方程组有唯一解
x
=
1 a+2(1,源自1,1)．(4 分)
当 a = −2 时，方程组化为 x2 − 2x1 = 1 − x3 ，得 x = (x3 − 1, x3 − 1, x3)． (4 分) x1 − 2x2 = 1 − x3
当 a = 1 时，方程组化为 x1 + x2 + x3 = 1，得 x = (1 − x2 − x3, x2, x3)． (4 分)
1i
4. 否．例如：A = −01
1 0
−11 , A∗ = 11
1 1
11．
1 −1 0
111
5. 是．Ax = b 有唯一解 ⇒ Ax = 0 只有零解 ⇒ rank(A) = n ⇒ A 可逆．
三、
1. 方程组系数矩阵 A = a1
1 a
11，det(A) = (a − 1)2(a + 2)．
．
123
3. 设 C = 11
1 2
13，则 rank(C) =
, C∗ =
．
234
二、简答题．每小题 6 分，共 30 分．回答问题并简要说明理由． 1. 设 A, B ∈ Cm×n．若 AB = O，则 BA = O？ 2. 对于任意 A ∈ Cm×n，det(AAT ) = det(AT A)？ 3. 对于任意 A ∈ Cn×n，rank(AAT ) = rank(AT A)？ 4. 设 A ∈ Cn×n．若 A∗ 是对称方阵且 A∗ ̸= O，则 A 是对称方阵？ 5. 设 A ∈ Cn×n, b ∈ Cn×1．若线性方程组 Ax = b 有唯一解，则 A 可逆？
2. det(A) = 1 + (−1)n−1a，记作 ∆．当且仅当 a ̸= (−1)n 时，A可逆．
由
A = I + B,
Bn
= aI，得
A−1
=
1 ∆
n∑−1(−1)kBk,
k=0
(A−1)ij
=
(−1)i+j
1 ∆
,
(−1)i+j
+n
a ∆
,
(6 分) i ⩽ j; i > j.
由
A−1
=
1 det(A)
线性代数 A1 期中考试
2018 年 4 月 29 日上午 8:30—10:30
姓名
学号
得分
一、填空题．每空 5 分，共 30 分．答案填在试卷上，需化简．
()
1. 设 A = 1 2 ，则 tr(AT A) =
, A2018 =
．
03
2. 设 B = 00
0 1
12，则 det(B) =
, B−1 =
a
1
() 3. (10 分) 设 A, B 都是实数方阵．证明：rank A B = rank(A + B) + rank(A − B)．
BA
参考答案及评分标准
一、
14,
(
)
1 32018 − 1
,
0 32018
−1,
−12
−2 1
10 ,
2,
1 1
2 2
1 1
1 00
−1 −2 −1
二、每小题结论 1 分，理由 5 分．
A∗
或者初等变换，亦可得
A−1．
(9 分)
(
)( )(
)(
)(
)(
)
3. 1 I I 2 −I (I
AB B) A
I −I
A+B
=
O
， I I 和 I −I 可逆．
I( I
O ) A−B
−I I
II
故 rank A B = rank A + B O = rank(A + B) + rank(A − B)． (10 分)
三、解答题．共 40 分．需给出详细解答过程．
ax1 + x2 + x3 = 1
1.
(15
分) 对参数
a
讨论求解实数域上的线性方程组
xx11
+ +
ax2 + x3 x2 + ax3
= =
1． 1
2. (15 分) n 阶实数方阵 A = 1
1 1
... ...
1(空白处元素都是 0) 何时可逆？并求 A−1．
()
()
1. 否．例如：A = 1 0 , B = 0 0 , AB = O, BA ̸= O．
00
10
() 2. 否．例如：A = 1 0 , det(AAT ) = 1, det(AT A) = 0．
() 3. 否．例如：A = 1 i , rank(AAT ) = 0, rank(AT A) = 1．