1 sin t 6 4 3
试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图 解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即
1 2 1 f (t ) 1 cos t cos t 2 3 6 2 4 4 3



x(t )e jt dt d X ( )d



x(t )e
jt
dt
x(t )
X ( )e jt d
X(ω)称为x(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。 x(t)称为X(ω)的傅里叶逆变换或原函数。
傅里叶变换对
可记为：
x t X



x(t )e j2 ft dt d(2[ x(t )]

x(t )e j2πft dt
• 逆变换：
x(t ) F [ X ( f )]
1
X ( f )e j2πft df
非周期信号频谱
幅度频谱（幅度谱）：
n n Fn Sa( ) Sa( ) n 0, 1, 2, T 2 T T
Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设T = 4τ画图。
1 4

Fn

2
0
2
4



ω
周期信号频谱特点
周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频 1 的整数倍 一般具有收敛性。总趋势减小
证明：
F[ax(t ) by(t )] aF [ x(t )] bF [ y (t )] aX ( f ) bY ( f )
F [ ax(t ) by (t )] [ax(t ) by (t )]e j2 ft d t

ax(t ) e

傅里叶变换（FT）的重要性质
f t
F
E
E


2
o

2
t

2π o 2π



（2）k>1 时域压缩，频域扩展k倍。 f 2t
E
E 2
t
1 F 2 2
持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加， 频带展宽，各分量的幅度下降k倍。
o 4 4

4π
系
幅度频谱（幅度谱）： 幅值Ak随频率 变化的图形（单边谱） 幅值|ck|随频率 变化的图形（双边谱） 幅度谱中每条线代表某一频率分量的幅度——谱线 相位频谱（相位谱）： 相位k随频率变化的图形
周期信号频谱举例1
举例：周期信号
1 2 f (t ) 1 cos t 2 3 4
• 非稳态信号：任何统计特性都随时间变化的信号。 • 连续性非稳态信号 • 瞬态信号
傅里叶变换
• 傅里叶变换（Fourier Transform）是一种线性的积分 变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提 出，所以以其名字来命名以示纪念。 • 傅里叶变换是一种能够将信号从时域到频域、从频域 到时域来回变换的传统方法，也是信号处理的一种主 要方法。
5. 均方根值(RMS, Root Mean Square)： xrms
xrms
1 T 2 0 x (t )dt T
正弦信号： xrms=0.707 xp xav=0.637xp
周期信号频谱
信号的某种特征量随信号频率变换的关系，称为信号的频谱，所画出
的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关
1. 振动信号的测量
• • • • • • • • 振动信号传感器 位移传感器 速度传感器 加速度传感器 电涡流传感器 光纤传感器 机械振动的运动量和动特性参数的常用测量方法 频率的测量 相位差的测量 衰减系数及相对阻尼系数的测量
2. 振动信号的处理和分析
信号的分类
确定性信 号 随机信号 信号类型 非稳态信 号 连续信号 瞬态信号 周期性信 号
1 X ( ) F [ x(t )] 2
正变换(FT)：


x(t )e jt dt
分解过程（时域→频域）
逆变换(IFT)：
x(t ) F [ X ()]
1

X ()e d
jt
信号重构过程（频域→时域）
• 令 2πf
1 1 jt ck x(t )e dt d 2 2 x(t )e j2 ft dt df
j2 ft
d t by (t ) e j2 ft d t


aX ( f ) bY ( f )
傅里叶变换（FT）的重要性质
对称性
若x t 为偶函数 则X t x f
证明：
若x(t ) X ( f ) 则X t x f
A1cos(1t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同； A2cos(21t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍；
一般而言，Akcos(kt+k)称为n次谐波。
傅里叶级数的复数表达法
• 欧拉公式：
1 j k t cos k t (e e jk t ) 2
x(t ) X ( f )e


j2πft
df x(t ) X ( f )e j2πft df


将t与f互换
x( f ) X (t )e j2πft dt F[ X (t )]


傅里叶变换（FT）的重要性质
• 尺度改变： F[ x(kt )] 1 X f , F 1 x t X (kf ) k k k k • 证明： F[ x(kt )]
k
ck e jk0t

k 0, 1, 2,
• 考虑到T→∞，ω→无穷小，记为dω；kω→ ω（由离散量变为连续 量），而
1 d T 2 2
同时，∑ →∫
d 1 ck x(t )e jt dt 2 2
1 X () 2
o
4π



傅里叶变换（FT）的重要性质
• 时移： • 证明：
F[ x(t t0 )] X ( f )e j2πft0
F[ x(t t0 )]

x(t t0 )e j2πft dt
t0 • 令 t ，则 t t0 , d dt 代入上式得 ，
傅里叶级数
• 周期信号： x(t ) x(t nT )
周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时可分解为 如下三角级数—— 称为x(t)的傅里叶级数
x(t ) a0 (ak cos k t bk sin k t )
• 基频（第一阶圆频率）：0 2 T
An
A0 2
n
1 2
1
1 4

3
o

3

12

6

4 2 3

3
ω
o

12

6

4
ω (b)
(a)
周期信号频谱举例2
举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期 矩形脉冲，其周期为T，如图所示。求频 谱。
-T 1 f(t) 0 … T t
1 Fn T
T 2 T 2
f (t ) e
jnt
第六章 振动信号的处理和分析 （基本理论）
本章内容
• • • • • • • • 6-1 信号的分类 6-2 傅里叶变换 6-3 离散傅里叶变换（DFT） 6-4 快速傅里叶变换（FFT） 6-5 选带傅氏分析（ZOOM-FFT） 6-6 功率谱与功率谱密度分析 6-7 线性系统的输入与输出关系 6-8 拉普拉斯变换与Z变换
1 2 jnt dt e dt T 2



2

2
1 e jnt T jn

2

2
n n sin( ) sin 2 2 2 T n T n
2
n 0, 1, 2,
令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）
周期信号频谱举例2
显然1是该信号的直流分量。
1 cos t 的周期T1 = 8 2 3 4
1 2 cos 的周期T2 = 6 4 3 3
周期信号频谱举例1
画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图
1 1 2 f (t ) 1 cos t cos t 2 3 4 3 4 3
傅里叶积分变换（非周期信号）
非周期信号f(t)可看成是周期T→∞时的周期信号。 当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔 趋近于无穷小，从而
信号的频谱变为连续频谱。
非周期信号的傅里叶变换
• 根据傅里叶级数复指数形式：
1 ck T

T /2
T /2
x(t )e
jk0t
dt
x(t )
X ( f ) 随频率 f 变化的图形
幅度谱中每条线代表某一频率分量的幅度——谱线 相位频谱（相位谱）：
( f ) 随频率 f 变化的图形
X ( f ) ：频率谱密度函数，或简称为频谱函数
非周期信号频谱为 f 的连续函数
傅里叶变换（FT）的重要性质
设 F[x(t)]=X(f), F[y(t)]=Y(f) 线性叠加：
傅里叶变换（FT）的重要性质
f t