应力应变关系:
弹性模量 || 广义虎克定律 1.弹性模量
a 弹性模量 单向拉伸或压缩时正应力与线应变之比,即
E σε
=
b 切变模量 切应力与相应的切应变 之比,即
G τγ=
c 体积弹性模量 三向平均应力
0()
3
x y z σσσσ++=
与体积应变θ(=εx +εy +εz )之比, 即
K σθ=
d 泊松比 单向正应力引起的横向线应变ε1的绝对值与轴向线应变ε的绝对值之比,即
1
ε
νε= 2.广义虎克定律 a.弹性力学基本方程
在弹性力学一般问题中，需要确定15个未知量，即6个应力分量，6个应变分量和3个位移分量。

这15个未知量可由15个线性方程确定，即 (1)3个平衡方程(或用脚标形式简)写 为:
22()0
j
ij
i
i x u f t
σρ∂∂++-=∂∂
(,,,)i j x y z =
(2)6个变形几何方程,或简写为:
1()2j
i ij j i
u u E x x ∂∂=
+∂∂
(,,,)i j x y z =
(3)6个物性方程简写为:
0132ij ij E G E ν
σσδ=
-
2ij ij ij
G σελθδ=+
(,,,)i j x y z =
{
1()
0()
()
i j ij i j δ=≠=
2.边界条件
x x xx xy xy xz xz
F l l l σττ=++
y yz xx y xy yz xz
F l l l τσσ=++
z zz xx xy xy z xz
F l l l ττσ=++
式中，l nj =cos(n,j)为边界上一点的外
法线n 对j 轴的方向余弦 b 位移边界问题
在边界S x 上给定的几何边界条件为
*x x u u = *
y y u u =
*z z u u = 式中，u i 为表面上给定的位移分量
Cauchy 公式： T x = σ x l + τ xy m +τ zx n T y = τ xy l+σ y m +τ zy n T y =τ xz l+τ y z m +σ z n
22)(n x z n n n T l T T n
T T T στ=+++=
边界条件：
()()()x xy xz s x xy y yz s y xz yz z s z
l m n T l m n T l m n T στττστττσ++=++=++= 平衡微分方程：
000yx x zx
x xy y zy
y yz xz z
z F x y z F x y z F x y z
τσττστττσ∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂ 主应力、不变量，偏应力不变量
321231230
x y z
x xy y z zx
yz yx y zy xz x z x xy xz
yx y yz
zx zy z I I I I I I σσσσσσστσστττσττσσστττστττσ-+-==++=++
= 1231
();3
m i i m s σσσσσσ=++=-
()()()1123222222230
16()6x y y z z x
xy yz zx J s
s s J J σσσσσστττ=++=⎡⎤=-+-+-+++⎢⎥⎣⎦=偏应力张量行列式的秩
八面体
81238
1
()
3σσσστ=++等效应力σ=体积应变x y z θεεε=++
12312()E
v v
εσσσ-=
++
几何方程：
;;;x xy y yz z xy u u v x y x v v w y z y w u w z z x
εγεγεγ∂∂∂=
=+∂∂∂∂∂∂==+
∂∂∂∂∂∂==+
∂∂∂ 1
2
ij ij εγ=
变形协调方程22
222y xy
x xy y x
ετε∂∂∂+=∂∂∂
物理方程
()()()12(1)
;12(1)
;12(1)
;x x y z xy
xy y y x z yz yz z z y x zx zx v v E E v v E E
v v E E
εσσσγτεσσσγτεσσσγτ+⎡⎤=-+=⎣⎦+⎡⎤=-+=⎣⎦+⎡⎤=-+=⎣⎦
偏应力与偏应变的关系 3;2m m ij ij K s Ge σε==
平面应变问题
()()()()()'x ''''
'
''2
11
1111
112(1)2(1)
;0;110;x y x y y y x y x xy xy
xy z zy zx zy zx z x y v v v v E
v v v v E v v E E E v E v v v v εσσσσεσσσσγττεγγττσσσ⎡⎤=-=--⎣⎦-⎡⎤=-=--⎣⎦-++=====
--=====+ 平面应力问题
()()()x 11
;2(1)0
1
;0
x y y y x xy xy
zy zx zy zx z x y z v v E E
v E
v
εσσεσσγτγγττεσσσ=-=-+======-+= 平面问题方程： 平衡方程：
00yx
x x xy y
y F x y F x y
τστσ∂∂++=∂∂∂∂++=∂∂
几何方程
;;x y xy u v u v x y y x
εεγ∂∂∂∂=
==+∂∂∂∂ 边界条件
;x yx x xy y y l m T l m T σττσ+=+=
位移边界条件;x x y y u u u u ==
协调方程 平面应变
222
22y xy
x
xy y x
ετε∂∂∂+=∂∂∂
平面应力222220;0;0z z z
xy x y εεε∂∂∂===∂∂∂
平面问题应力解（直角坐标系）
22222x x y y xy F x
y F y x xy ϕ
σϕ
σϕτ∂=-∂∂=-∂∂=-
∂
协调方程：
2222
22222()()()0x y x y x y
ϕσσ∂∂∂∂+=++=∂∂∂∂ 平面问题应力解（极坐标系） 平衡微分方程：
10210r r r r r r F r r r F r r r
θθ
θθθ
θτσσσθτστθ∂-∂+++=∂∂∂∂+++=∂∂ 几何方程：
1;1r r r r r u u u r r r u u u r r r
θ
θθθθ
εεθγθ∂∂==+∂∂∂∂=+-∂∂ 本构方程：
()()r 11
;2(1)r r r
r
v v E E v E
θθθθθεσσεσσγτ=-=-+= 变形协调：222
22211()0r r r
r θ∂∂∂++=∂∂∂
已知应力函数ϕ，求应力
22222
22211;111()
r r r r r r r r r r r θθϕϕϕσσθϕϕϕϕτθθ
θ∂∂∂=+=∂∂∂∂∂∂∂=-+=-∂∂∂∂∂ 平面应变下：
()()[]
()()
[]
r (1)112(1)112r r E
u u u u E u u u u θθθσεεσεε=
-++-=-++-
屈服条件
Tresca 屈服条件
()12
111s
022ij s
f k σσσστ-=
-===单轴拉伸：k ;纯剪切：k Mises 屈服条件
()()()(
)2222222222220
16()6K K ij x y y z z x xy yz zx s s
f J k J σσσσσσστττσ=-=⎡⎤=-+-+-+++⎢⎥⎣
⎦=单轴拉伸：;纯剪切：
1、理想弹塑性材料的加卸载准则：
()()0,0;0,0;ij ij ij
ij ij ij f
f df d f
f df d σσσσσσ∂==
=∂∂==<∂加载卸载
2、硬化材料的加卸载准则：
()()()0,
0;0,0;0,0;ij ij ij ij ij ij ij ij ij f
f d f f d f
f d βββσεσσσεσσσεσσ∂=>∂∂==∂∂=<∂，加载，中性加载，卸载。