4.2 解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质一、选择题1．(2010·安徽)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为 ( )A.⎝⎛⎭⎫22，0 B.⎝⎛⎭⎫52，0 C.⎝⎛⎭⎫62，0 D ．(3，0)解析：∵原方程可化为x 21－y 212＝1，a 2＝1，b 2＝12，c 2＝a 2＋b 2＝32，∴右焦点为⎝⎛⎭⎫62，0. 答案：C2．(2010·天津)已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为 ( ) A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 解析：∵渐近线方程是y ＝3x ，∴ba ＝ 3.①∵双曲线的一个焦点在y 2＝24x 的准线上， ∴c ＝6.② 又c 2＝a 2＋b 2，③由①②③知，a 2＝9，b 2＝27， 此双曲线方程为x 29－y 227＝1.答案：B4．(2010·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝() A．4 3 B．8 C．8 3 D．16解析：解法一：AF直线方程为：y＝－3(x－2)，当x＝－2时，y＝43，∴A(－2,43)．当y＝43时代入y2＝8x中，x＝6，∴P(6,43)，∴|PF|＝|P A|＝6－(－2)＝8.故选B.解法二：∵P A⊥l，∴PA∥x轴．又∵∠AFO＝60°，∴∠F AP＝60°，又由抛物线定义知P A＝PF，∴△P AF为等边三角形．又在Rt△AFF′中，FF′＝4，∴F A＝8，∴P A＝8.故选B.答案：B5．高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为() A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：如图1，假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点，由于∠BPA＝∠DPC，则Rt△ABP∽Rt△CDP，BAP ADCPC，从而PC＝2P A.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2)，则A(－5,0)，C(5,0)，设P(x，y)，得(x－5)2＋y2＝2(x＋5)2＋y2化简得x2＋y2＋503x＋25＝0，显然，P点的轨迹为圆．答案：A 二、填空题解析：由题知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则c <b ⇒c 2<b 2＝a 2－c 2⇒e 2<12，又e ∈(0,1)，所以e ∈⎝⎛⎭⎫0，22. 答案：⎝⎛⎭⎫0，22 7．(2010·浙江)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．解析：F()p 20，则B ()p4，1， ∴2p ×p4＝1，解得p ＝ 2.∴B ⎝⎛⎭⎫24，1，因此B 到该抛物线的准线的距离为24＋22＝324. 答案：3248．(2010·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．解析：∵椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为(±4,0)，∴双曲线的焦点坐标为(±4,0)，∴c ＝4，ca ＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝2，b 2＝12，∴双曲线方程为x 24－y 212＝1，∴渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x ，即3x ±y ＝0. 答案：(±4,0)3x ±y ＝0即x D ＝3c 2，由椭圆的第二定义得|FD |＝e ()a 2c －3c 2＝a －3c 22a .又由|BF |＝2|FD |，得a ＝2a －3c 2a，整理得a 2＝3c 2， 即e 2＝13e ＝33.答案：33三、解答题10．已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为435和235，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．解：解法一：设椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，两个焦点分别为F 1、F 2，则由题意，知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴a ＝ 5.在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，令x ＝±c ，得|y |＝b 2a .在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中，令y ＝±c ，得|x |＝b 2a .依题意知b 2a ＝235，∴b 2＝103.即椭圆的方程为x 25＋3y 210＝1或y 25＋3x 2101.解法二：设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2， 则|PF 1|＝453，|PF 2|＝253. 由椭圆的定义，知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，即a ＝ 5. 由|PF 1|>|PF 2|知，PF 2垂直于长轴． 故在Rt △PF 2F 1中，4c 2＝|PF 1|2－|PF 2|2＝609， ∴c 2＝53，于是b 2＝a 2－c 2＝103.又所求的椭圆的焦点可以在x 轴上，也可以在y 轴上，故所求的椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1.11．(2010·湖北)已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A 、B 的任一直线， 都有FA →·FB →<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足(x －1)2＋y 2－x ＝1(x >0)， 化简得y 2＝4x (x >0)．(2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎨⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x 得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )>0，于是⎩⎨⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m . ①又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，F A →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0. ②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－()y 214＋y 224＋1<0⇔(y 1y 2)216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0， ③ 由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2， ④ 对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0， 即3－22<m <3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直 线，都有F A →·FB →<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．12．(2009·陕西，21)已知双曲线C 的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，离心率e ＝52，顶点到渐近线的距离为255.(1)求双曲线C 的方程；(2)如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两 条渐近线上，且分别位于第一、二象限.若AP →＝λPB →，λ∈⎣⎡⎦⎤13，2，求△AOB 面积的取值范围． 解：解法一：(1)由题意知，双曲线C 的顶点(0，a )到渐近线ax －by ＝0的距离为255， ∴ab a 2＋b2＝255，即ab c ＝255.由⎩⎪⎨⎪⎧ab c ＝255，c a ＝52c 2＝a 2＋b2得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝5，∴双曲线C 的方程为y 24x 2＝1.(2)由(1)知双曲线C 的两条渐近线方程为y ＝±2x . 设A (m,2m )，B (－n,2n )，m >0，n >0.由AP →＝λPB →＝λPB →得P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫m －λn 1＋λ，2(m ＋λn )1＋λ， 将P 点坐标代入y 24－x 2＝1，化简得mn ＝(1＋λ)24λ，设∠AOB ＝2θ，∵tan()π2－θ＝2， ∴tan θ＝12，sin 2θ＝45.又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ， ∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin 2θ＝2mn ＝12()λ＋1λ＋1. 记S (λ)＝12()λ＋1λ＋1，λ∈[]13，2，则S ′(λ)＝12)1－1λ2.由S ′(λ)＝0得λ＝1，又S (1)＝2， S()13＝83，S (2)＝94， ∴当λ＝1时，△AOB 的面积取得最小值2，当λ＝13时，△AOB 的面积取得最大值83.∴△AOB 面积的取值范围是[]2，83. 解法二：(1)同解法一．(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ， 由题意知|k |<2，m >0. 由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x得A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫m 2－k ，2m 2－k ，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m y ＝－2x ，得B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2＋k ，2m 2＋k . 由AP →=λPB →得P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫m 1＋λ⎝⎛⎭⎫12－k －λ2＋k ，2m 1＋λ⎝⎛⎭⎫12－k ＋λ2＋k ， 将P 点坐标代入y 24－x 2＝1得4m 24－k 2＝(1＋λ)2λ.设Q 为直线AB 与y 轴的交点，则Q 点的坐标为(0，m )．S △AOB ＝S △AOQ ＋S △BOQ ＝12|OQ |·|x A |＋12|OQ |·|x B |＝12m ·(x A －x B )＝12⎝⎛⎭⎫m2－k ＋m 2＋k ＝12·4m 24－k 2＝12()λ＋1λ＋1. 以下同解法一．7.1 数学思想方法--函数与方程思想一、选择题1．已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－6,1)，而(λa ＋b )⊥(a －λb )，则实数λ等于 ( )A ．1或2B ．2或－12C ．2D ．0解析：λa ＋b ＝(3λ－6,2λ＋1)，a －λb ＝(3＋6λ，2－λ)，若(λa ＋b )⊥(a －λb )，则 (3λ－6)·(3＋6λ)＋(2λ＋1)(2－λ)＝0，解得λ＝2或λ＝－12答案：B2．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2.若对任意的x ∈[t ，t ＋2]，不等式f (x ＋t )≥2f (x )恒成立，则实数t 的取值范围是 ( ) A ．[2，＋∞) B ．[2，＋∞)C ．(0,2]D ．[－2，－1]∪[2，3] 答案：A3．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0.对任意正数a 、b ，若a <b ，则必有 ( ) A ．af (a )≤f (b ) B ．bf (b )≤f (a ) C ．af (b )≤bf (a ) D ．bf (a )≤af (b ) 解析：∵xf ′(x )＋f (x )≤0，即[xf (x )]′≤0， ∴xf (x )是减函数．又∵a <b ， ∴af (a )≥bf (b )． 又∵b >a >0，f (x )≥0， ∴bf (a )≥af (a )且bf (b )≥af (b )， ∴bf (a )≥af (a )≥bf (b )≥af (b )， ∴bf (a )≥af (b )． 答案：C4．f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，f (2)＝0，则函数y ＝f (x )在区间(－1,4)内的零点个数为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.由f (2)＝0，得f (－2)＝0. 又∵f (x )的周期为3，∴f (1)＝0，f (3)＝0. 又∵f ⎝⎛－32＝f ⎝⎛⎭⎫－32＋3＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－f ⎝⎛⎭⎫32， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝0.故选D. 答案：D5．已知对于任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是 ( ) A ．1<x <3 B ．x <1或x >3 C ．1<x <2 D ．x <2或x >3解析：将f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 看作是a 的一次函数，记为g (a )＝(x －2)a ＋x 2－ 4x ＋4.当a ∈[－1,1]时恒有g (a )>0，只需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0， 解之得x <1或x >3. 答案：B 二、填空题6．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．解析：只需求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值大于等于9即可，又(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥a ＋1＋2a ·x y ·y x ＝a ＋2a ＋1，等号成立仅当a ·x y ＝yx即可，所以(a )2＋2a ＋ 1≥9，即(a )2＋2a －8≥0求得a ≥2或a ≤－4(舍)， 所以a ≥4，即a 的最小值为4. 答案：47．若关于x 的方程(2－2－|x －2|)2＝2＋a 有实根，则实数a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝(2－2－|x －2|)2，要使f (x )＝2＋a 有实根，只需2＋a 是f (x )的值域内的 值．∵f (x )的值域为[1,4)∴1≤a ＋2<4，∴－1≤a <2.答案：[－1,2)8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg|x || x ≠0a x ＝0，a ∈R ，若方程f 2(x )－f (x )＝0共有7个实数根，则a ＝________.解析：设y ＝t 2－t ，t ＝f (x )作出两函数的图象如图所示，由t 2－t ＝0知t ＝0，或t ＝1， 当t ＝0时，方程有两个实根；当t ＝1时，要使此时方程有5个不同实根，则a ＝1. 答案：19．若数列{a n }的通项公式为a n ＝83×⎝⎛⎭⎫18n －3×⎝⎛⎭⎫14n ＋⎝⎛⎭⎫12n (其中n ∈N *)，且该数列中最大的项为a m ，则m ＝________.解析：令x ＝()12n，则0<x ≤12构造f (x )＝83x 3－3x 2＋x ，x ∈(]0，12∴f ′(x )＝8x 2－6x ＋1令f ′(x )＝0，故x 1＝14，x 2＝12.∴f (x )在(]0，14上为增函数， f (x )在()14，12上为减函数∴f (x )max＝f ()14即当x ＝14时，f (x )最大，∴n ＝2时，a 2最大． ∴m ＝2. 答案：2三、解答题10．设P 是椭圆x 2a2＋y 2＝1(a >1)短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求|PQ |的最大值．解：依题意可设P (0,1)，Q (x ，y )，则 |PQ |＝x 2＋(y －1)2.又因为Q 在椭圆上，所以x 2＝a 2(1－y 2)．|PQ |2＝a 2(1－y 2)＋y 2－2y ＋1＝(1－a 2)y 2－2y ＋1＋a 2 ＝(1－a 2)⎝⎛⎭⎫y －11－a 22－11－a2＋1＋a 2， 因为|y |≤1，a >1，若a ≥2，则⎪⎪⎪⎪11－a 2≤1，当y ＝11－a 2时，|PQ |取最大值a 2a 2－1a 2－1；若1<a <2，则当y ＝－1时，|PQ |取最大值2，综上，当a ≥2时，|PQ |最大值为a 2a 2－1a 2－1；当1<a <2时，|PQ |最大值为2.11．已知f (x )是定义在正整数集N *上的函数，当x 为奇数时，f (x ＋1)－f (x )＝1，当x 为偶数时，f (x ＋1)－f (x )＝3，且满足f (1)＋f (2)＝5. (1)求证：{f (2n －1)}(n ∈N *)是等差数列； (2)求f (x )的解析式．(1)证明：由题意得⎩⎨⎧f (2n ＋1)－f (2n )＝3f [(2n －1)＋1]－f (2n －1)＝1， 两式相加得f (2n ＋1)－f (2n －1)＝4.因此f (1)，f (3)，f (5)，…，f (2n －1)成等差数列． 即{f (2n －1)}(n ∈N *)是等差数列．(2)解：由题意得⎩⎨⎧ f (2)－f (1)＝1f (1)＋f (2)＝5，解得⎩⎨⎧f (1)＝2f (2)＝3. 所以f (2n －1)＝f (1)＋(n －1)×4＝2(2n －1)，因此当x 为奇数时，f (x )＝2x . 又因为当x 为奇数时，f (x ＋1)－f (x )＝1，所以f (x ＋1)＝2x ＋1＝2(x ＋1)－1， 故当x 为偶数时，f (x )＝2x －1. 综上，f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x 为奇数2x －1，x 为偶数.12．某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2010年度进行一系列的促销活动．经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费用t 万元之间满足： 3－x 与t ＋1成反比例．如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知 2010年生产化妆品的固定投资为3万元，每生产1万件化妆品需再投资32万元， 当年每件化妆品的零售价定为“年平均成本的150%”与“年均每件所占促销费的 一半”之和，则当年的产销量相等．(1)将2010年的年利润y 万元表示为促销费t 万元的函数；(2)该企业2010年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝收入 －生产成本－促销费)解：(1)由题意，得3－x ＝kt ＋1，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2. ∴x ＝3－2t ＋1. 由题意，知每件零售价为32()32＋3x ＋12·t x. 年利润y ＝⎣⎡⎦⎤32()32＋3x ＋12·t x x －(3＋32x )－t＝16x －12t ＋32＝16⎝⎛⎭⎫3－2t ＋1－12t ＋32 ＝50－⎝⎛⎭⎫t ＋12＋32t ＋1＝－t 2＋98t ＋352(t ＋1)(t ≥0)．(2)∵y ＝50－⎝⎛⎭⎫t ＋12＋32t ＋1≤50－216＝42(万元)，当且仅当t ＋12＝32t ＋1， 即t ＝7时，y max ＝42，∴当促销费定为7万元时，利润最大．3.2 数列求和及数列综合应用一、选择题1．若等比数列{a n }的前n 项和S n ，且S 10＝18，S 20＝24，则S 40等于 ( )A.803 B.763 C.793 D.823解析：根据分析易知：∵S 10＝18，S 20－S 10＝6，∴S 30－S 20＝2，S 40－S 30＝23，∴S 40＝803，故选A. 答案：A2．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若{a n }的前n 项和为24，则n 为( )A ．25B ．576C ．624D ．625解析：a n ＝1n ＋n ＋1＝－(n －n ＋1)，前n 项和S n ＝－[(1－2)＋(2－3)＋…＋(n －n ＋1)]＝n ＋1－1＝24，故n ＝624.选C. 答案：C3．(2010·大连模拟)设S n 为数列{a n }的前n 项之和，若不等式a 2n ＋S 2n n2≥λa 21对任何等差数列{a n }及任何正整数n 恒成立，则λ的最大值为 ( ) A ．0 B.15 C.12D ．1解析：a 1＝0时，不等式恒成立，当a 1≠0时，λ≤a 2n a 21＋S 2nn 2a 21，将a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)d2代入上式，并化简得： λ≤54⎣⎡⎦⎤(n －1)d a 1＋652＋15，∴λ≤15，∴λmax ＝15.答案：B4．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 20等于 ( )A ．0B ．－ 3 C. 3 D.32解析：∵a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1，∴a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，…. 从而知3为最小正周期， 从而a 20＝a 3×6＋2＝a 2＝－ 3. 答案：B5．(2009·广东)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝ ( ) A ．(n －1)2 B ．n 2 C ．(n ＋1)2 D ．n (2n －1)解析：∵a 5·a 2n －5＝22n ＝a 2n ，a n >0， ∴a n ＝2n ，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 2(a 1a 3…a n －1)＝log 221＋3＋…＋(2n －1)＝log 22n 2＝n 2.故 选B. 答案：B二、填空题6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝a 1(3n －1)2(n ∈N *)，且a 4＝54，则a 1＝________.解析：由于S n ＝a 1(3n －1)2(n ∈N *)，则a 4＝S 4－S 3＝a 1(81－1)2－a 1(27－1)2＝27a 1，且a 4＝54，则a 1＝2. 答案：27．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝5a 3，则S9S 5＝________.解析：设等差数列的公差为d ，首项为a 1， 则由a 5＝5a 3知a 1＝－32d ，∴S 9S 5＝9(a 1＋4d )5(a 1＋2d )＝9.答案：98．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为________．解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则S 4＝4a 1＋6d ≥10，即2a 1＋3d ≥5，S 5＝5a 1＋10d ≤15，即a 1＋2d ≤3.又a 4＝a 1＋3d ， 因此求a 4的最值可转化为在线性约束条件⎩⎨⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3限制之下的线性目标函数的最值问题，作出可行域如图，可知在当a 4＝a 1＋3d ，经 过点A (1,1)时有最大值4. 答案：49．(2009·福建)五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所 报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次．已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总 次数为________．解析：1,1,2,3,5,8,13,21，…该数列被3除所得的余数构成的数列为1,1,2,0,2,2, 1,0，… 所得新数列中每4个数出现一个0，而又有5名同学，因而甲同学报的数为3的倍 数的间隔为20，所以甲同学报的数为3的倍数的数依次是第16,36,56,76,96次，共5 个数，故答案为5. 答案：5 三、解答题10．(2010·济南模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝k ·2n ＋m ，k ≠0，且a 1＝3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)方法一：依题意有⎝⎛3＝2k ＋m ，3＋a 2＝4k ＋m ，3＋a 2＋a 3＝8k ＋m .①解得a 2＝2k ，a 3＝4k ，∴公比为q ＝a 3a 2＝2，a 23＝2k3＝2，k ＝3，代入①得m ＝－3，∴a n ＝3·2n －1.方法二：n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1·k . 由a 1＝3得k ＝3，∴a n ＝3·2n －1， 又a 1＝2k ＋m ＝3，∴m ＝－3.(2)b n ＝n a n ＝n 3·2n －1，T n ＝13⎝⎛⎭⎫1＋22＋322＋…＋n 2n－1， ② 12T n ＝13⎝⎛⎭⎫12＋222＋ …＋n －12n －1＋n 2n ， ③ ②－③得12T n ＝13⎝⎛⎭⎫1＋12＋222＋ (12)－1－n 2n ， T n ＝23⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1·()1－12n1－12－n 2n ＝43⎝⎛⎭⎫1－12n －n 2n＋1.11．(2010·浙江五校联考)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3(1－S n ＋1)，求适合方程1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝2551n 的值．解：当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23.当n ≥2时，∵S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1，∴S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )，∴a n ＝13a n －1.∴{a n }是以2313为公比的等比数列，故a n ＝23·()13n －1＝2·()13n. (2)∵1－S n＝12a n＝()13n，b n ＝log 3(1－Sn ＋1)＝log 3()13n ＋1＝－n －1，∴1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2， ∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝()12－13＋()13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2. 解方程12－1n ＋2＝2551，得n ＝100.12．已知函数f (x )＝x ＋3x ＋1(x ≠－1)，设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，数列{b n }满足b n ＝|a n －3|，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n (n ∈N *)． (1)用数学归纳法证明：b n ≤(3－1)n2n －1；(2)证明：S n <233. 证明：(1)当x ≥0时，f (x )＝1＋2x ＋1>1. 因为a 1＝1，所以a n ≥1(n ∈N *)．下面用数学归纳法证明不等式b n ≤(3－1)n2n －1.①当n ＝1时，b 1＝3－1，不等式成立． ②假设当n ＝k 时，不等式成立，即b k ≤(3－1)k2k －1，那么b k ＋1＝|a k ＋1－3|＝(3－1)|a k －3|1＋a k≤3－12b k ≤(3－1)k ＋12k.所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 根据①和②，可知不等式对任意n ∈N *都成立． (2)由(1)知b n ≤(3－1)n2n －1.所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n≤(3－1)＋(3－1)22＋…＋(3－1)n2n －1＝(3－1)·1－⎝⎛⎭⎫3－12n 1－3－12<(3－1)·11－3－12＝233. 故对任意n ∈N *，S n <233.2.(安徽理10) 函数()()mnf x ax x =1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值 可能是（A ）1,1m n == y (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==【答案】B 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当1,2m n ==，()()()f x ax x n x x x 232=1-=-2+g ，则()()f x a x x 2'=3-4+1，由()()f x a x x 2'=3-4+1=0可知，121,13x x ==，结合图像可知函数应在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，即在13x =取得最大值，由 ()()fa 21111=⨯1-=3332g ，知a 存在.故选B.。