m
min [U (t)]
u j (t ) 1
min
u j (t ) 1
q j (t)u j (t)
j 1
j 1,2,L ,m
m
m
min [U (t)]
u j (t ) 1
j 1
min
u j (t ) 1
q
j
(t)u
j
(t)
j 1
q j (t)
j 1,2,L , m
也就是最优控制uj*(t)是qj(t)的如下函数
则
m
[U (t)] T (t)B[ X (t),t]U (t) q(t)U (t) q j (t)u j (t)
j 1
6
于是，T (t)B[ X *(t),t]U *(t) min T (t)B[ X *(t),t]U (t) j 1,2,L ,m u j (t ) 1
可转化为如下条件
(t
f)
X
T X
tt f
H
t
T t
tt f
0
终端受限
tf自由
4
最小值原理
（3）控制方程为 H[X *(t),(t),U *(t),t] min H[ X *(t), (t),U(t),t] U (t )
1 T (t) f [ X *(t),t] T (t)B[ X *(t),t]U *(t) min {1 T (t) f [ X *(t),t] T (t)B[ X *(t),t]U (t)} j 1,2,L ,m
为讨论方便起见，定义m维行向量
q(t) T (t)B[ X (t),t]
其分量
qj (t) T (t)bj[X (t),t], j 1, 2,L , m
其中bj[X(t)，t]是矩阵B[X(t)，t]的第j个列向量，即
bj[X (t),t] [b1 j[X (t),t],b2 j[X (t),t],L ,bnj[ X (t),t]]T
第四讲 时间、燃料最优
控制问题
1
主要内容
4.1 Bang-Bang控制 4.2 线性时不变系统的时间最优控制问题 4.3 时间最优控制系统的综合 4.4 燃料最优控制问题 4.5 时间-燃料最优控制问题
2
4.1 Bang-Bang控制
问题4.1(时间最优控制问题) 已知系统的状态方程
X&(t) f [ X (t),t] B[ X (t),t]U (t) （4.1.1）
（2）规范方程及边界条件分别为
X&(t) H f [ X (t),t] B[ X (t),t]U (t)
&(t) H f T [ X (t),t] (t) [B[ X (t),t]U (t)]T (t)
X
X (t)
X (t)
X (t0 ) X 0
[ X (t f ),t f ] 0
u
u*j (t)
奇异区间
1
q j (t) u*j ?
0 t0
-1
t1
t2
tf
t
10
说明： 1. 只要有一个函数qj(t)( j=1，2，，m)在某一段(或几段)时 间区间[t1，t2] [t0，tf]上取零值，则称该时间最优问题是奇 异的，在区间[t1，t2]上， qj(t)等于零。此时,由关系式 u j (t) sgn{q j (t)}, j 1,2,L ,m 无法确定最优控制各分量uj*(t)之值。 2. 奇异情况的出现,既不意味着时间最优控制不存在，也不意 味着时间最优控制无法定义，它仅仅表明，由控制方程不能
（4.1.3）
[ X (t f ),t f ] 0
（4.1.4）
的某一终态X(tf)，其中tf是可变的，是对X(t)和t连续可微的r 维向量函数。并使性能指标达到最小值。
J
tf t0
dt
tf
t0
（4.1.5） 3
解：（1）应用最小值原理来求解。写出该问题的哈密顿函数
H[X (t),(t),U (t),t] 1 T (t) f [ X (t),t] T B[ X (t),t]U (t)
7
由上式可知，
正常情况
奇异情况
➢ qj(t)0，则uj*(t) 有定义。
➢ qj(t)＝0， uj(t)可取满足约束条件 u j (t) 1 的任何值，uj*(t) 不定。
定义4.1 若在区间[t0，tf]内，存在一时间可数集
t1 j,t2 j, L ,t j [t0,t f ], 1, 2,L ; j 1, 2,L , m
u
u*j (t) sgn(q j (t))
1
0 t0
-1
q j (t)
图4-1
tf
t
9
定义4.2 若在区间[t0，tf]内，至少存在一个区间[t1，t2] [t0，tf]， 使得对所有的t [t1，t2]有
qj (t) T (t)bj[X (t),t] 0, j 1, 2,L , m
则称该时间最优问题是奇异的,而区间[t1，t2]称为奇异区间。
u j (t ) 1
着重分析下式：
T (t)B[ X *(t),t]U *(t) min T (t)B[ X *(t),t]U (t) u j (t ) 1
令
j 1,2,L ,m (4.1. 6)
[U (t)] T (t)B[ X (t),t]U (t)
5
[U (t)] T (t)B[ X (t),t]U (t)
使得对所有的j=1，2，，m，有
q j (t)
T
(t )b j
0, 当且仅当t 非零, 当t t j
t j
则称该时间最优问题是正常的。
说明：在正常的时间最优问题中， 函数qj(t)只是在有限个孤
立的时刻取零值,相应的最优控制分量uj*(t)仅在这些时刻发生
跳变。 数。
uj*(t)是具有第一类间断点的 分段 常值函 8
u
* j
(t
)
u
* j
(t
)
1 , 1)
0
0
u
* j
(t
)不定
,
若q j (t) 0
由于控制函数U(t)的各个分量 的约束都是彼此独立的,所以 可以交换最小与求和的次序
u
* j
(t
)
sgn{q
j
(t
)}
sgn{
T
(t
)b
j
[
X
(t
),
t
]}
j 1,2,L ,m, t [t0,t f ]
其中f[X(t)，t]是对X(t)和t连续可微的n维向量函数； B[X(t)，t]
是对X(t)和t连续可微的nm维的矩阵函数.要求确定满足下列
不等式
u j (t) 1 , j 1,2,L ,m
（4.1.2）
约束的m维容许控制向量，使系统(4.1.1)从给定的初态
X (t0 ) X 0 到达满足约束条件