(t)0时, 有
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
(t)0时, 有
dt
dx dy
dx d t dt dy
dx dt
1 dy
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
(t) (t)
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若上述参数方程中(t),(t)二阶可导, 且 (t)0,
dy dx
x
0
.
解: 方程两边对 x 求导
d(y52yx3x7)0 dx
得
5 y 4 d y 2 d y 121x60
dx dx
dy dx
15y421x26
因x=0时y=0,
故
dy dx
x
0
1 2
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例3. 求 yxsixn(x0)的导数 .
第四节
第二章
隐函数和参数方程求导
相关变化率
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率
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一、隐函数的导数
若由方程 F(x,y)0可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由 yf(x)表示的函数 , 称为显函数 . 例如, xy310可确定显函数 y3 x1
v1
,
垂直分量
dy dt
v2
gt
,
速度的方向 tan v2 gt
v1
y
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
arctanv2
O
v1
达到最高点的时刻 tv 2 , 高度 y Nhomakorabeag
t
v2
g
1 2
v22 g
落地时刻 t 2 v 2 , 抛射最远距离 x
g
t
2v2 g
2v1v2 g
dy0 dt
y52yx3x70可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 .
隐函数求导方法: F(x,y)0
两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )
d F(x, y) 0 (含导数 y 的方程)
dx
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例1. 求由方程 y52yx3x70确定的隐函数
yy(x) 在
x
=
0
处的导数
x
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例6. 设由方程 tx2 t2 y 2tsiyn1(01)
确定函数 yy(x),求 d y . dx
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx 2t2
dt
2t d y coydsy 0
dt
dt
d x 2(t 1) dt dy 2t
dt 1cosy
故
dy dx
dy dt
例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,
其速率为 14m 0 mi,n当气球高度为 500 m 时, 观察员
视线的仰角增加率是多少?
解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,
则 tan h
500
h
两边对 t 求导
500
sec2 d 1 d h
d t 500 d t
t2
,
y 1t
dy 1; dx t
d2 y d x2
1 t2
t
1 t3
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例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为 yx vv2 1tt1 2gt2
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.
解: 先求速度大小:
速度的水平分量为
dx dt
v1
,
垂直分量为
dy dt
v2
gt
,
dx dt
(t1)(1tcoys)
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三、相关变化率
x x (t),y y (t)为两可导函数
x, y之间有联系
dx , dy dt dt
之间也有联系
相关变化率问题解法:
称为相关变化率
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式
求出未知的相关变化率
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则由它确定的函数 yf(x)可求二阶导数 .
x(t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
d2 y d x2
d (dy) dx dx
d (dy) ddtx dt dx ddyt
(t)(t)(t)(t)
2 (t)
(t)
(t)(t)3 ( t)(t)(t)记
yx xy x3
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lnyvlnu
1 y vlnu u v
y
u
yuv(vlnuuv) u
注意: yuvlnuvvuv1u
按指数函数求导公式
按幂函数求导公式
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2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如, y b a x b x a a x b(a 0,b 0,b a 1 )
2
对 x 求导
y 1 1 1 1 1
y 2 x 1 x 2 x 3 x4
y1 (x1)(x2) 1111
2 (x3)(x4) x 1x2x3x4
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二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t) (t)
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系, (t),(t)可导, 且 [(t)]2 [(t)]2 0,则
两边取对数
lny x ln a a[ln bln x] b[ln xln a] b
两边对 x 求导
y ln a a b
y
bxx
yb axb xaa xbln
a b
a x
b x
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又如,
y
(x1)(x2) (x3)(x4)
两边取对数
(lnu )u u
ln y 1 ln x 1ln x2 lx n 3 lx n 4
故抛射体速度大小
v
(dx)2 (dy)2 dt dt
v12(v2g)t2
再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
设 为切线倾角, 则
y
tan d y
dx
dy dt
d x v2 gt
dt
v1
O
x
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抛射体轨迹的参数方程
x v1t y v2t 12gt2
速度的水平分量
dx dt
注意 : 已知 d y dx
(t) , (t)
d2 y d x2
((tt))
?
对谁求导?
例4. 设
xf(t) y tf(t)f(t), 且
f(t)0,求
d d
2
x
y
2
.
解:
d d
y x
t f (t) f (t)
t,
d2 y d x2
1 f (t)
练习: 书P112 题8(1)
解:
x
1 2
解: 两边取对数 , 化为隐式
ln ysixn ln x
两边对 x 求导
1 y
y
cx o ls x n sin x
x
yxsix(n co xlsn x six)n x
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说明:
1) 对幂指函数 y u v ,其 u u 中 (x )v , v (x )可,用对数
求导法求导 :