3
隐函数的求导公式
隐函数存在定理1 设二元函数 F ( x, y)在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内满足:
(1) 具有连续偏导数;
(2) F ( x0 , y0 ) 0; (3)Fy ( x0, y0 ) 0, 则方程 F ( x, y) 0在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内 恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数
9
隐函数的求导公式
z Fx , x Fz
z Fy y Fz
例
已知 x2 a2

y2 b2

z2 c2

1,
求 z , z 及 2z . x y xy
解
令 F(x,
y, z)
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
则
Fx

2x a2
,
2y Fy b2 ,
2z Fz c2
z2


c2[
x ( a2z2
c2 y b2z
)]
c4 xy a2b2z3
注 对复合函数求高阶偏导数时, 需注意:
导函数仍是复合函数. 故对导函数再求偏导数时,
仍需用复合函数求导的方法.
11
隐函数的求导公式
例
设有隐函数
F(
x z
,
y z
)

0
,其中F的偏导数连续,
求 z , z . x y
u y u v
22
隐函数的求导公式
特别
如果方程组
F ( x, G( x,
y, u, v ) y, u, v )

0 0
为
F ( x,u,v) G( x,u,v)

00时, 它可能确定两个 一元函数,
现假定它确定 u u( x),v v( x),且两个函数都
1991年研究生考题,填空,3分
设函数f ( x, y)是由方程xyz x2 y2 z2 2
确定的,则z在点(1,0,1)处的全微分dz ( ).
解 法一 用公式
dx 2dy
设 F( x, y, z) xyz x2 y2 z2 2
F
2x
yz
,
x
2 x2 y2 z2
F xz
2y
,
y
2 x2 y2 z2
F xy
2z
.
z
2 x2 y2 z2
z

1,
x (1,0,1)
z 2,
y (1,0,1)
dz dx 2dy (1, 0 , 1)
15
隐函数的求导公式
xyz x2 y2 z2 2
y, y,
z) z)

0 0
下面讨论如何由隐函数方程 求偏导数.
2
隐函数的求导公式
一、一个方程的情形
1. F ( x, y) 0
在一元函数微分学中, 曾介绍过隐函数
F(x, y) 0
(1)
的求导法.
现在利用复合函数的链导法给出隐函数(1)
的求导公式, 并指出:
隐函数存在的一个充分条件.
(3) Fy (0,0) 1 0, 由隐函数存在定理1 所以方程在点 (0, 0) 附近确定一个有连续导数、 当x 0时y 0的隐函数 y f ( x),且
dy dx

Fx Fy


y ex x ey
.
6
隐函数的求导公式
例 已知ln x2 y2 arctan y ,求 dy . x dx
y)) y))
0 0
两边关于x求偏导, 由链导法则得:

F x

F u

u x

F v

v x

0

G x

G u

u x
G v

v x

0
解这个以 u , v 为未知量的线性方程组, x x
20
隐函数的求导公式
当系数行列式不为零时, 即 F F
x ,
0
fu

(x y

1)

fv ( xz
yz x), y
y
17
隐函数的求导公式
z f ( x y z, xyz)
整理得 x fu xzfv ,
y fu yzfv
3.
把y看成x,
z的函数对z求偏导数,得
y z
,
1
y
fu (z 1)
函数 z f ( x, y),它满足条件 z0 f ( x0 , y0 ),
F(x, y, f (x, y)) 0, 并有 z Fx , z Fy .
x Fz y Fz
8
隐函数的求导公式
(证明从略)仅推导公式.
设
是方程
所确定的隐
函数,则
将恒等式 F ( x, y,f ( x, y)) 0
请看课本第34页, 隐函数存在定理3.
19
隐函数的求导公式
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0
求 u , u , v , v . x y x y
将恒等式
F ( x, G( x,
y, u( x, y, u( x,
y),v( x, y),v( x,
F F F F
解得
u x


x G
v G
x v
u G
v G
1 (F,G), J (x,v)
u v
F F
v x


u G
x G
F F
u GΒιβλιοθήκη G1 J
(F ,G) (u, x)
.
u x u v
21
隐函数的求导公式
解
1.
把z看成x,
y的函数对x求偏导数,得
z x
,
令 u x y z, v xyz, 则 z f (u,v).
z x

f
u

(1

z x
)

fv ( yz
xy z ), x
整理得 z fu yzfv
x 1 fu xyfv
2. 把x看成y, z的函数对y求偏导数,得
解 令F ( x, y) ln x2 y2 arctan y , x
则 Fx ( x, y)
x x2
y y2 ,
Fy( x, y)
y x x2 y2 ,
dy dx

Fx Fy


x y

y. x
7
隐函数的求导公式
2. 由三元方程 F ( x, y, z) 0确定二元隐函数 z f ( x, y),求 z , z .
F

x G
x

F u G u
u x u x

F v G v
v x v x

0 0
J (F ,G) u v 0. 雅可比行列式
(u, v )
G G u v Jacobi,C.G.j.(德)1804-1851
z2
ydz

0
故 dz zF1dx zF2dy xF1 yF2
从而 z zF1 , z zF2 . x xF1 yF2 y xF1 yF2
13
隐函数的求导公式
法三 将方程两边求导.
对x求偏导:
F u F v 0
u x v x
F(x , y) 0 zz
y f ( x),它满足条件 y0 f ( x0 ), F(x, f (x)) 0,并有
dy Fx ( x, y) 隐函数的求导公式 dx Fy ( x, y)
(证明从略)仅推导公式. 将恒等式 F ( x, f ( x)) 0
两边关于x求导, 由全导数公式,得 4
隐函数的求导公式
第五节 隐函数的求导公式
( implicit function )
一个方程的情形 方程组的情形 小结
1
第八章 多元函数微分法及其应用
隐函数的求导公式
隐函数在实际问题中是常见的. 如 平面曲线方程 F( x, y) 0
空间曲面方程 F( x, y, z) 0
空间曲线方程
F ( x, G( x,

F v G v
v y v y

0 0
F F F F
u y


y G
v G
u G
v G


1 J
(F ,G) , ( y,v)
y v u v
F F F F
v y


u G
y G
u G
v G


1 J
(F ,G) . (u, y)
fv ( xy
xz y), z
整理得
y

1
fu

xyfv
.
z fu xzfv
18
隐函数的求导公式
二、方程组的情形(隐函数组)
下面讨论由联立方程组所确定的隐函数的 求导方法. 故由方程组
F ( x, y,u,v) 0 G( x, y,u,v) 0 确定两个二元函数 u u( x, y), v v( x, y). 求 u , u , v , v . x y x y
法二 用全微分
yzdx xzdy xydz 2xdx 2 ydy 2zdz 0 2 x2 y2 z2