复数综合练习题
一、 选择题
1、若22
(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数x 的值是（ ） A 1 B 1- C 1± D 以上都不对
2、22
1(1)(4),.z m m m m i m R =++++-∈232.z i =-则1m =是12z z =的（ ）条件
A 充分不必要
B 必要不充分
C 充要
D 既不充分又不必要 3、若12,z z C ∈，则1212z z z z ⋅+⋅是（ ） A 纯虚数 B 实数 C 虚数 D 无法确定 4、(),()n
n
f n i i n N -+
=+∈的值域中，元素的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 无数个 5、3()m i R +∈，则实数m 的值为（ ）
A ±3±
2
± 6、若x C ∈，则方程||13x i x =+-的解是（ ）
A
122+ B 124,1x x ==- C 43i -+ D 122
- 7、|34|2z i ++≤，则||z 的最大值为（ ） A 3 B 7 C 9 D 5 8、已知
z =则501001z z ++的值为（ ） A i B 1 C 2i + D 3 9、已知11x x +
=，则199619961
x x
+的值为（ ） A 1- B 1 C i - D i
10、已知方程|2||2|z z a --+=表示等轴双曲线，则实数a 的值为（ ）
A ±
B 11、复数集内方程2
5||60z z ++=的解的个数是（ ）
A 2
B 4
C 6
D 8
12、复数1cos sin ,(2)z i ααπαπ=++<<的模是（ ） A 2cos
2
α B 2cos
2
α- C 2sin
2
α D 2tan
2
α-
二、填空题
13、34i +的平方根是 、 。

14、在复平面内，若复数z 满足|1|||z z i +=-，则z 所对应的点的集合构成的图形是 。

15、设12ω=-
，则集合A={|()k k x x k Z ωω-=+∈}中元素的个数是 。

16、已知复数122,13z i z i =-=-，则复数 2
15
z i z + = 。

三、解答题 （写出必要的运算步骤）
17 在复平面上，设点A 、B 、C ，对应的复数分别为,1,42i i +。

过A 、B 、C 做平行四边形ABCD ，求此平行四边形的对角线BD 的长。

18、设,a b 为共轭复数，且2
()3412a b abi i +-=- ，求,a b 的值。

19、已知复数z 满足|4||4|,z z i -=-且141
z
z z -+-为实数，求z 。

20、已知,z ω为复数，(13)i z +⋅为纯虚数，2z
i
ω=+，且||ω=
求复数ω。

21、求同时满足下列两个条件的所有复数z ； （1）10z R z +
∈，且10
16z z
<+≤；
（2）z 的实部与虚部都是整数。

22、=x ＋yi (x ，y ∈R )，且 222
log 8(1log )x y
i x y i ++-=-，求z ．
23、于x 的的方程是0)2()(tan 2
=+-+-i x i x θ；若方程有实数根， 求锐角θ和实数根；
复数综合练习题（二）参考答案
答案:
一、A 、A 、B 、B 、B 、 C 、B 、A 、A 、A 、 A 、B
二、 13 2,2i i +-- 14 y x =-直线 15 2 16 i 三、简答题
17、由题知平行四边形三顶点坐标为(0,1),(1,0),(4,2)A B C ，设D 点的坐标为 (,)D x y 。

因为BA CD =，得(1,1)(4,2)x y -=--，得41,2 1.x y -=-⎧⎨-=⎩得3
3x y =⎧⎨=⎩
，即(3,3)D
所以(2,3)BD = ，
则||BD =
18、设,,(,)a x yi b x yi x y R =+=-∈。

带入原方程得
2
2
2
43()412x x y i i -+=-，由复数相等的条件得2
22
44,
3()12.x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩
解得1x y =⎧⎪⎨
=⎪⎩
1
x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩.对应四组解略。

19、,(,)z x yi x y R =+∈，因为|4||4|,z z i -=-带入得x y =，所以,z x xi x R =+∈
又因为141z
z z -+
-为实数，所以141411
z z z z z z --+=+--， 化简得，所以有0z z -=或2
|1|13z -=
由0z z -=得0x =；由2
|1|13z -=得2,3x x =-=或。

所以0;22;3 3.z z i z i ==--=+ （也可以直接用代数形式带入运算）
20、设,(,)z x yi x y R =+∈，则(13)i z +⋅=(3)(3)x y x y i -++为纯虚数，所以30x y =≠， 因
为|||
|2z
i
ω==+，所
以||z ==；又3x y =。

解得15,5;15,5x y x y ===-=- 所以155(7)2i
i i
ω+=±=±-+。

21、（一）使用19题的方法解得0z z -=
或||z =，然后解决。

（二）设,(,)z x yi x y R =+∈
则1010z x yi z x yi +
=+++2210()x yi x yi x y -=+++22221010(1)(1)x y i x y x y =++-++ 因为10
z R z
+
∈，所以2
2
10(1)0y x y -=+。

所以22010y x y =+=或。

当0y =时，z x =，又1016z z <+≤，所以x R +∈
，而10
6z z
+≥>，所以在实数范围内无解。

当2
2
10x y +=时，则102z z z z z z x z z ⋅+
=+=+=。

由112632
x x <≤⇒<≤ 因为,x y 为正整数，所以x 的值为 1，或2，或3。

当1,3;x y ==±时
当2,)x y ==时舍；当3,1x y ==±时。

则133z i z i =±=±或,。

22本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法． ∵ 222
log 8(1log )x y
i x y i ++-=-，∴22280log 1log x y x y
+⎧-=⎨=-⎩，∴3
2x y xy +=⎧⎨=⎩，
解得21x y =⎧⎨
=⎩或1
2x y =⎧⎨=⎩
, ∴ z ＝2＋i 或z ＝1＋2i ． 23（1）设实数根是a ，则0)2()(tan 2
=+-+-i x i a θ，即---2tan 2
θa a
0)1(=+i a ，∵a 、R ∈θtan ，⎩⎨
⎧=+=--;
01,
02tan 2a a a θ ∴,1-=a 且1tan =θ，又2
0πθ<
<，∴1,4
-==
a π
θ；。