复数一、复数的概念 1. 虚数单位i（1） 它的平方等于1-，即 2i 1=-；（2） 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．（3）i 的乘方： 4414243*i 1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈，它们不超出i b 的形式． 2. 复数的定义（1）形如i(,)R a b a b +∈的数叫做复数， ,a b 分别叫做复数的实部与虚部（2） 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R)是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.3. 复数相等 i i a b c d +=+，即,a c b d ==，那么这两个复数相等4. 共轭复数i z a b =+时，i z a b =-．性质：z z =；2121z z z z ±=±；1121z z z z ⋅=⋅；);0()(22121≠=z z z z z二、复平面及复数的坐标表示 1. 复平面在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴．2. 复数的坐标表示 点(,)Z a b3. 复数的向量表示 向量OZ ．4. 复数的模在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ 叫做复数z 的模，记作z ．由定义知，z =三、复数的运算1. 加法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +++=+++．几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．2. 减法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-．几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--．12()()i z z a c b d -=-+-=1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模．3. 乘法 ()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±.4. 乘方 m n m n z z z +⋅= ()m n mn z z = 1212()n n n z z z z ⋅=⋅5. 除法()()()()()()()()22a bi c di ac bd bc ad ia bi a bi c di c di c di c di c d+-++-++÷+===++-+. 6. 复数运算的常用结论（1） 222(i)2i a b a b ab +=-+， 22(i)(i)a b a b a b +-=+ （2） 2(1i)2i +=， 2(1i)2i -=- （3） 1ii1i+=-， 1ii1i-=-+（4）1212z z z z ±=±，1212z z z z ⋅=⋅，1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，z z =．（5）2z z z⋅=，z z=（6） 121212z z z z z z -≤+≤+（7）1212z z z z ⋅=⋅，1212z z z z ⋅=⋅，n n z z=四、复数的平方根平方根若2(i)i a b c d +=+，则i a b +是i c d +的一个平方根，(i)a b -+也是i c d +的平方根． （1的平方根是i ±．）五、复数方程1. 常见图形的复数方程（1） 圆：0z z r-=（0r >，0z 为常数），表示以0z 对应的点0Z 为圆心，r 为半径的圆（2） 线段12Z Z 的中垂线：12z z z z -=-（其中12,z z 分别对应点12,Z Z ） （3） 椭圆：122z z z z a-+-=（其中0a >且122z z a-<），表示以12,z z 对应的点F1、F2为焦点，长轴长为2a 的椭圆 （4） 双曲线：122z z z z a---=（其中0a >且122z z a->），表示以12,z z 对应的点F1、F2为焦点，实轴长为2a 的双曲线2. 实系数方程在复数范围内求根（1）求根公式：1,21,21,20 0 20 x b x a x ⎧∆>=⎪⎪⎪-∆==⎨⎪⎪∆<=⎪⎩一对实根一对相等的实根一对共轭虚根（2） 韦达定理：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩复数训练一、直接计算二、复平面一、单选题（共21题；共42分）1.（ ） A.B.C. D.2.在复平面内,复数 是虚数单位)对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3.已知i 是虚数单位，复数（ ）A. i ﹣2B. i+2C. ﹣2D. 2 4.已知 为虚数单位，复数 ，则（ ）A.B. 2C.D.5.设复数 满足 ，则复平面内 表示的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 6.当复数 的实部与虚部的差最小时， （ ）A. B. C.D.7.已知，， 的实部与虚部相等，则（ ）A. -2B.C. 2D.8.若复数 满足 为虚数单位），则 （ ）A. B.C. D.9.若复数 ，则（ ）A.B.C. D.10.已知 是虚数单位，则（ ）A. B. C. D.11.若复数满足，则在复数平面上对应的点( )A. 关于轴对称B. 关于轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线对称12.复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限13.已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限14.已知复数满足，则( )A. B. C. D.15.复数( 为虚数单位)的共轭复数是（）A. B. C. D.16.在复平面内，复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限17.已知复数( 是虚数单位)，则的虚部为（）A. B. C. D.18.已知复数，则其共轭复数对应的点在复平面上位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限19.已知复数，，则在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限20.已知复数，则复数z的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.21.已知，是虚数单位，若，则（）A. 1或B. 或C.D.二、填空题（共14题；共14分）22.表示虚数单位，则________.23.是虚数单位,则的值为________.24.复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于第________象限．25.设复数，则复数的共轭复数为________．26.若复数为纯虚数，则________.27.已知，则实数________.28.若（其中i是虚数单位），则实数________.29.若复数( )为纯虚数，则________.30.已知复数，（其中为虚数单位），若为实数，则实数的值为________．31.若复数是纯虚数，则实数的值为________．32.复数的实部为________.33.如果是方程（）的一个根，则________．34.已知是虚数单位，复数的实部与虚部互为相反数，则实数的值为________．35.复数满足( 为虚数单位)，则________三、解答题（共5题；共40分）36.已知复数，.（1）求及并比较大小；（2）求及并比较大小；（3）设，满足条件的点的轨迹是什么图形？（4）设，满足条件的点的轨迹是什么图形？37.已知复数z满足，z的实部、虚部均为整数，且z在复平面内对应的点位于第四象限.（1）若，求实数m，n的值.（2）求复数z；（3）若，求实数m，n的值.38.已知复数（i是虚数单位）是关于x的实系数方程根.（1）求的值；（2）复数满足是实数，且，求复数的值.39.设复数，复数．（Ⅰ）若，求实数的值.（Ⅱ）若，求实数的值.40.已知为复数，均为实数（其中为虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第二象限，求实数的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】，故答案为：C.【分析】利用复数的乘法运算法则，从而化简求出所求复数。

2.【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：，复数在复平面内对应的点的坐标为：，位于第四象限．故答案为：．【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简复数，求出复数在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．3.【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：，故答案为：B．【分析】直接利用复数代数形式的运算法则化简求值．4.【答案】A【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】复数，∴，故答案为：A．【分析】对复数进行化简计算，然后根据复数的模长公式，得到答案.5.【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算【解析】【解答】因为，所以，则复平面内表示的点位于第四象限.故答案为：D．【分析】先由已知利用复数的乘除运算得到，再利用复数的几何意义，即可判断表示的点所在的象限.6.【答案】C【考点】二次函数在闭区间上的最值，复数的基本概念，复数代数形式的混合运算【解析】【解答】复数z的实部与虚部的差为，当时，差值最小，此时，∴.故答案为：C【分析】实部与虚部的差为。

利用二次函数性质求得最值，再利用复数除法运算即可.7.【答案】C【考点】复数相等的充要条件【解析】【解答】设（），则即.故答案为：C.【分析】利用待定系数法设复数z，再运用复数的相等求得b.8.【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】由题意得：故答案为：【分析】根据复数的除法运算可求得；根据共轭复数的定义可得到结果.9.【答案】D【考点】复数代数形式的混合运算【解析】【解答】因为．故答案为：D．【分析】由复数代数形式的运算法则求出，利用共轭复数的定义即可求出．10.【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】.故答案为：B【分析】利用复数的乘法运算法则求出复数的代数式。