中考专题复习平行四边形
知识考点：理解并掌握平行四边形的判定和性质
精典例题：
【例1】已知如图：在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，点E、F分别在BC和AD边上，AF＝CE，EF和对角线BD相交于点O，求证：点O是BD的中点。

分析：构造全等三角形或利用平行四边形的性质来证明BO＝DO
略证：连结BF、DE
在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD＝BC
又∵AF＝CE
∴FD∥BE，FD＝BE
∴四边形BEDF是平行四边形
∴BO＝DO，即点O是BD的中点。

【例2】已知如图：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形。

分析：欲证四边形EFGH是平行四边形，根据条件需从边上着手分析，由E、F、G、H分别是各边上的中点，可联想到三角形的中位线定理，连结AC后，EF和GH的关系就明确了，此题也便得证。

（证明略）
变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形。

变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形。

变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形是正方形。

变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形是菱形。

例1图
O
F
E
D
C
B
A
例2图
变式5：若AC ＝BD ，AC ⊥BD ，则四边形EFGH 是正方形。

变式6：在四边形ABCD 中，若AB ＝CD ，E 、F 、G 、H 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点，求证：EFGH 是菱形。

娈式6图
娈式7图
变式7：如图：在四边形ABCD 中，E 为边AB 上的一点，△ADE 和△BCE 都是等边三角形，P 、Q 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形PQMN 是菱形。

探索与创新：
【问题】已知如图，在△ABC 中，∠C ＝900
，点M 在BC 上，且BM ＝AC ，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 和BN 相交于P ，求∠BPM 的度数。

分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数，为此，我们由条件中的直角及相等的线段，可联想到构造等腰直角三角形，从而应该平移AN 。

略证：过M 作ME ∥AN ，且ME ＝AN ，连结NE 、BE ，则四边形AMEN 是平行四边形，得NE ＝AM ，ME ∥AN ，AC ⊥BC
∴ME ⊥BC
在△BEM 和△AMC 中，
ME ＝CM ，∠EMB ＝∠MCA ＝900
，BM ＝AC
∴△BEM ≌△AMC
∴BE ＝AM ＝NE ，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＋∠3＝900
∴∠2＋∠4＝900
，且BE ＝NE ∴△BEN 是等腰直角三角形 ∴∠BNE ＝450
∵AM ∥NE
探索与创新图
E
N
A
∴∠BPM ＝∠BNE ＝450
跟踪训练：
一、填空题：
1、一个平行四边形的两条对角线的长度分别为5和7，则它的一条边长a 的取值范围是 。

2、□ABCD 的周长是30，AC 、BD 相交于点O ，△OAB 的周长比△OBC 的周长大3，则AB ＝ 。

3、已知□ABCD 中，AB ＝2AD ，对角线BD ⊥AD ，则∠BCD 的度数是 。

4、如图：在□ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠EAD ＝600
，AE ＝2，AC ＋BD ＝16，则△BOC 的周长为 。

第4题图
E
O D
C
B
A
第5题图
21
O
F
E
D
C
B
A
第6、7题图
F
E
D
C
B
A
5、如图：□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，EF 过点O ，且EF ⊥BC 于F ，∠1＝300
，∠2＝450
，OD ＝22，则AC 的长为 。

6、如图：过□ABCD 的顶点B 作高BE 、BF ，已知BF ＝4
5BE ，BC ＝16，∠EBF ＝300
，则AB ＝ 。

7、如图所示，□ABCD 的周长为30，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，且AE ∶AF ＝2∶3，∠C ＝1200，则平行四边形ABCD 的面积为 。

二、选择题：
1、若□ABCD 的周长为28，△ABC 的周长为17cm ，则AC 的长为（ ）
A 、11cm
B 、
C 、4cm
D 、3cm
2、如图，□ABCD 和□EAFC 的顶点D 、E 、F 、B 在同一条直线上，则下列关系中正确的是（ ）
A 、DE ＞BF
B 、DE ＝BF
C 、DE ＜BF
D 、D
E ＝FE ＝BF
第2题图
E
F D C
B
A
第3题图
第4题图
E
D C
B
A
3、如图，已知M 是□ABCD 的AB 边的中点，CM 交BD 于E ，则图中阴影部分的面积与□ABCD 的面积之比是（ ） A 、
61 B 、41 C 、31 D 、12
5
4、如图，□ABCD 中，BD ＝CD ，∠C ＝700
，AE ⊥BD 于E ，则∠DAE ＝（ ） A 、200
B 、250
C 、300
D 、350
5、在给定的条件中，能作出平行四边形的是（ ） A 、以60cm 为对角线，20cm 、34cm 为两条邻边
B 、以20cm 、36cm 为对角线，22cm 为一条边
C 、以6cm 为一条对角线，3cm 、10cm 为两条邻边
D 、以6cm 、10cm 为对角线，8cm 为一条边
6、如图，□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 边上的中点，直线CE 交BA 的延长线于G 点，直线DF 交AB 的延长线于H 点，CG 、DH 交于点O ，若□ABCD 的面积为4，则OGH S ＝（ ） A 、 B 、4 C 、 D 、5
第6题图
H
G
F
E
D C B A
第7题图
O
E
D
C
B
A
7、在□ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，∠B 是锐角，将△ACD 沿对角线AC 折叠，点D 落在△ABC 所在平面内的点E 处，如果AE 过BC 的中点O ，则□ABCD 的面积等于（ ） A 、48 B 、610 C 、712 D 、224
三、解答题：
1、如图，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥DC 于F ，∠ADC ＝600
，BE ＝2，CF ＝1，连结DE 交AF 于点P ，求EP 的长。

第1题图
P
F
E
D
C
B
A
2、在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且BE AE ＝BF FC ＝DG
GC
＝
HD
AH
＝k （k ＞0），阅读下列材料，然后回答下面的问题： 如上图，连结BD ∵
BE AE ＝HD AH ，BF FC ＝DG
GC
∴EH ∥BD ，FG ∥BD
①连结AC ，则EF 与GH 是否一定平行，答： ； ②当k 值为 时，四边形EFGH 是平行四边形；
③在②的情形下，对角线AC 和BD 只需满足 条件时，EFGH 为矩形； ④在②的情形下，对角线AC 和BD 只需满足 条件时，EFGH 为菱形；
第2题图
H
G
F E
D
C
B
A
3、已知，在四边形ABCD 中，从①AB ∥DC ；②AB ＝DC ；③AD ∥BC ；④AD ＝BC ；⑤∠A ＝∠C ；⑥∠B ＝∠D 中取出两个条件加以组合，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有哪几种情形请你具体写出这些组合。

4、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝900
，D 、F 分别为AC 、AB 的中点，点E 在BC 的延长线上，∠CDE ＝∠A 。

（1）求证：四边形DECF 是平行四边形；
（2）若5
3
sin
A ，四边形EBFD 的周长为22，求DE 的长。

第4题图
F
E
D
C B
A
跟踪训练参考答案
一、填空题：
1、1＜a ＜6；
2、9；
3、600
；4、12；5、8；6、5
64或；7、327cm 2
； 二、选择题：DBCABCC 三、解答题：
1、提示：由∠B ＝∠ADC ＝600，BE ＝2，AE ⊥BC 可得AB ＝4，再证DF ＝DC －CF ＝3，∴AD ＝6，EC ＝BC －BE ＝4＝DC ，又∠BCD ＝1200
，∴∠EDC ＝300
，求得∠APE ＝∠EAP ＝600
，△AEP 为等边三角形，EP ＝AE ＝32。

2、①是；②任意正数；③BD ⊥AC ；④AC ＝BD
3、①和②；③和④；⑤和⑥；①和⑤；①和⑥；③和⑤；③和⑥；②和④；①和③
4、（1）证EC ∥DF ，ED ∥CF ；（2）DE ＝5。