2008年研究生入学统一考试数学二试题与答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设2()(1)(2)f x x x x，则'()f x 的零点个数为（）A 0BCD 3（2）曲线方程为()y f x 函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()a taf x dx （）A 曲边梯形ABCD 面积.B 梯形ABCD 面积.C 曲边三角形ACD 面积. D 三角形ACD 面积. （3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2xy C eC x C x （123,,C C C 为任意常数）为通解的是（）（5）设函数()f x 在(,)内单调有界，n x 为数列，下列命题正确的是（）A 若n x 收敛，则()n f x 收敛. B 若n x 单调，则()n f x 收敛.C 若()n f x 收敛，则n x 收敛.D 若()n f x 单调，则n x 收敛.（6）设函数f 连续，若2222()(,)uvD f x y F u v dxdy xy，其中区域uv D 为图中阴影部分，则F u（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵.若30A ，则（）A E A 不可逆，E A 不可逆.B EA 不可逆，EA 可逆.C EA 可逆，EA 可逆.D EA 可逆，EA 不可逆.（8）设1221A，则在实数域上与A 合同的矩阵为（）A2112. B2112.C 2112.D 1221.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）已知函数()f x 连续，且201cos[()]lim1(1)()x x xf x ef x ，则(0)____f .（10）微分方程2()0xy x e dxxdy的通解是____y .（11）曲线sin ln xy yx x 在点0,1处的切线方程为.（12）曲线23(5)y xx 的拐点坐标为______.（13）设xyy zx，则(1,2)____z x.（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,.若行列式248A ，则___.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分9分）求极限4sin sin sin sin limx x xxx.(16)（本题满分10分）设函数()y y x 由参数方程2()ln(1)t xx t yu du确定，其中()x t 是初值问题200xt dx tedt x的解.求22yx.(17)（本题满分9分）求积分12arcsin 1x x dx x.(18)（本题满分11分）求二重积分max(,1),Dxy dxdy 其中{(,)02,02}Dx y x y (19)（本题满分11分）设()f x 是区间0,上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f .对任意的0,t，直线0,xxt ，曲线()yf x 以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式.(20)（本题满分11分）(1)证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b ，使得()()()baf x dx f ba (2)若函数()x 具有二阶导数，且满足32(2)(1),(2)()x dx ，证明至少存在一点(1,3),()使得（21）（本题满分11分）求函数222uxyz 在约束条件22zxy 和4xy z 下的最大值与最小值.（22）（本题满分12分）设矩阵2221212n naaa AaaO OO ，现矩阵A 满足方程AX B ，其中1,,TnXx x L ，1,0,,0B L ，（1）求证1nA n a ；（2）a 为何值，方程组有唯一解，并求1x ；（3）a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解.（23）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,为A 的分别属于特征值1,1特征向量，向量3满足323A，（1）证明123,,线性无关；（2）令123,,P，求1P AP.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题(1)【答案】D 【详解】因为(0)(1)(2)0f f f ，由罗尔定理知至少有1(0,1)，2(1,2)使12()()0f f ，所以()f x 至少有两个零点.又()f x 中含有因子x ，故0x 也是()f x 的零点，D 正确.本题的难度值为. (2)【答案】C 【详解】()()()()()()a a a a a xf x dxxdf x xf x f x dx af a f x dx其中()af a 是矩形ABOC 面积，0()a f x dx 为曲边梯形ABOD 的面积，所以()a xf x dx为曲边三角形的面积．本题的难度值为. (3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、cos2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2rri ，所以特征方程为(1)(2)(2)0r ri r i ，即32440rrr .故以已知函数为通解的微分方程是4yyy本题的难度值为. (4)【答案】A 【详解】0,1xx时()f x 无定义，故0,1x x是函数的间断点因为000ln 11lim ()limlimlimcsc |1|csc cot xxxxx x f x xx x x同理0lim ()xf x 又1111ln 1lim ()limlim sin limsin1sin11xxx xx f x xx x所以0x 是可去间断点，1x 是跳跃间断点. 本题的难度值为. (5)【答案】B 【详解】因为()f x 在(,)内单调有界，且{}n x 单调.所以{()}n f x 单调且有界.故{()}n f x 一定存在极限.本题的难度值为. (6)【答案】A【详解】用极坐标得222()22211,()v u u f r r Df u v F u vdudvdvrdr vf r druv所以2F vf uu本题的难度值为.(7)【答案】C 【详解】23()()E A EAA E AE ，23()()E A E A A E AE故,EA EA 均可逆．本题的难度值为. (8)【答案】D【详解】记1221D，则2121421E D ，又2121421E A 所以A 和D 有相同的特征多项式，所以A 和D 有相同的特征值.又A 和D 为同阶实对称矩阵，所以A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确.本题的难度值为. 二、填空题(9)【答案】2 【详解】2222201cos[()]2sin [()2]2sin [()2]()limlim lim ()[()2]4(1)()xxx x xf x xf x xf x f x x f x xf x ef x 所以(0)2f 本题的难度值为. (10)【答案】()xx e C 【详解】微分方程20xyx edx xdy可变形为xdy y xedxx所以111()dxdxxxxxxyexe e dx Cxxedx C x e C x本题的难度值为. (11)【答案】1yx【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x ，则1cos()11cos()x yy xy F dy y x dxF x xy y x，将(0)1y 代入得1xdydx ，所以切线方程为10y x ，即1y x 本题的难度值为. (12)【答案】(1,6)【详解】53235y xx23131351010(2)333x yxxx1x 时，0y；0x 时，y 不存在在1x左右近旁y 异号，在0x左右近旁0y，且(1)6y 故曲线的拐点为(1,6)本题的难度值为. (13)【答案】2(ln 21)2【详解】设,y x uvx y ，则vzu所以121()ln v vz z u z v y vuu uxuxvxxy所以(1,2)2(ln 21)2z x 本题的难度值为. (14)【答案】-1 【详解】||236A Q 3|2|2||A A 本题的难度值为. 三、解答题(15)【详解】方法一：43[sin sin(sin )]sin sin sin(sin )limlimxxx x x x x x x方法二：331sin ()6xx x o x Q 331sin(sin )sin sin (sin )6x xxo x本题的难度值为. (16)【详解】方法一：由20xdx tedt得2xe dxtdt ，积分并由条件0t x 得21xet ，即2ln(1)xt 所以2222ln(1)2(1)ln(1)21dydy t tdt t t dx t dxdtt方法二：由20xdx tedt得2x e dxtdt ，积分并由条件0t x 得21xet ，即2ln(1)xt 所以2222ln(1)2(1)ln(1)21xdydy t tdt t t e xdx t dxdt t所以22(1)xd ye x dx本题的难度值为. (17)【详解】方法一：由于221arcsin lim1x x x x，故212arcsin 1x x dx x是反常积分.令arcsinx t ，有sin x t ，[0,2)t 方法二：212arcsin 1x x dxx1221(arcsin )2x d x 令arcsinxt ，有sin x t ，[0,2)t故，原式21164本题的难度值为.(18)【详解】曲线1xy 将区域分成两个区域1D 和23D D ，为了便于计算继续对区域分割，最后为max ,1Dxy dxdy本题的难度值为.D 1D 3D 2(19)【详解】旋转体的体积2()tV f x dx ，侧面积22()1()tSf x fx dx ，由题设条件知上式两端对t 求导得22()()1()f t f t f t ，即21y y 由分离变量法解得21ln(1)y yt C ，即21ty yCe将(0)1y 代入知1C，故21tyye ，1()2ttyee 于是所求函数为1()()2xxy f x e e 本题的难度值为.(20)【详解】(I)设M 与m 是连续函数()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值，即由定积分性质，有()()()b am b a f x dx M b a ，即()baf x dx mMba 由连续函数介值定理，至少存在一点[,]ab ，使得()()b af x dx f b a即()()()b af x dx f b a (II)由(I)的结论可知至少存在一点[2,3]，使32()()(32)()x dx 又由32(2)()()x dx，知23对()x 在[1,2][2,]上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到(1)(2)，()(2)得在12[,]上对导函数()x 应用拉格朗日中值定理，有本题的难度值为. (21)【详解】方法一：作拉格朗日函数22222(,,,,)()(4)F x y z xyzxyz x y z 令2222022020040x yzF x x F y y F z F x y zFxyz 解方程组得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8)x y z x y z故所求的最大值为72，最小值为 6. 方法二：问题可转化为求2242242u xyxx yy 在224x y x y条件下的最值设44222222(,,)2(4)F x y u xyx y x y xyxy令323222442(12)0442(12)040xyF x xyx x F y x y y y Fxy xy解得1122(,)(1,1),(,)(2,2)x y x y ，代入22z xy ，得122,8z z 故所求的最大值为72，最小值为 6. 本题的难度值为.(22)【详解】(I)证法一：证法二：记||nD A ，下面用数学归纳法证明(1)nnD n a ．当1n 时，12D a ，结论成立．当2n时，2222132a D a aa，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得故||(1)nA n a证法三：记||n D A ，将其按第一列展开得2122n nnD aD a D ，所以211212()n nnn n n D aD aD a D a D aD 即12122()2nnn nnnn nD aaD aa aaD aa D (II)因为方程组有唯一解，所以由AxB 知0A，又(1)nAn a ，故0a．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为所以11(1)n nD n x D n a(III)方程组有无穷多解，由0A ，有0a ，则方程组为此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n ，所以方程组有无穷多解，其通解为10000100,TTk k LL 为任意常数．本题的难度值为. (23)【详解】(I) 证法一：假设123,,线性相关．因为12,分别属于不同特征值的特征向量，故12,线性无关，则3可由12,线性表出，不妨设31122l l ，其中12,l l 不全为零(若12,l l 同时为0，则3为0，由323A可知20，而特征向量都是非0向量，矛盾)32321122A l l ，又311221122()AA l l l l 112221122l l l l ，整理得：11220l 则12,线性相关，矛盾.所以，123,,线性无关.证法二：设存在数123,,k k k ，使得1122330k k k (1)用A 左乘(1)的两边并由11,A22A得1123233()0k k k k (2)(1)—(2)得113220k k (3)因为12,是A 的属于不同特征值的特征向量，所以12,线性无关，从而130k k ，代入(1)得220k ，又由于20，所以20k ，故123,,线性无关.(II)记123(,,)P ，则P 可逆，所以110001101P AP. 本题的难度值为.。