高考导数文科考点一、考试内容导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数; 两个函数的和、差、基本导数公式,利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最大值和最小值。
导数概念与运算知识清单 1.导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆,那么函数y 相应地有增量y ∆=f (x 0+x ∆)-f (x 0),比值x y ∆∆叫做函数y=f (x )在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率,即x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时,x y∆∆有极限,我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导,并把这个极限叫做f (x )在点x 0处的导数,记作f’(x 0)或y’|0x x =。
即f (x 0)=0lim →∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明:(1)函数f (x )在点x 0处可导,是指0→∆x 时,x y ∆∆有极限。
如果x y∆∆不存在极限,就说函数在点x 0处不可导,或说无导数。
(2)x ∆是自变量x 在x 0处的改变量,0≠∆x 时,而y ∆是函数值的改变量,可以是零。
由导数的定义可知,求函数y=f (x )在点x 0处的导数的步骤(可由学生来归纳): (1)求函数的增量y ∆=f (x 0+x ∆)-f (x 0);(2)求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00; (3)取极限,得导数f’(x 0)=x yx ∆∆→∆0lim。
2.导数的几何意义函数y=f (x )在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率。
也就是说,曲线y=f (x )在点p (x 0,f (x 0))处的切线的斜率是f’(x 0)。
相应地,切线方程为y -y 0=f/(x 0)(x -x 0)。
3.几种常见函数的导数:①0;C'=②()1;n nx nx-'=③(sin)cosx x'=; ④(cos)sinx x'=-;⑤();x xe e'=⑥()lnx xa a a'=; ⑦()1ln xx'=; ⑧()1l g loga ao x ex'=.4.两个函数的和、差、积的求导法则法则1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即:(.)'''vuvu±=±法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即:.)('''uvvuuv+=若C为常数,则'''''0)(CuCuCuuCCu=+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数:.)(''Cu Cu=法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:⎪⎭⎫⎝⎛vu‘=2''vuvvu-(v≠0)。
形如y=f [x(ϕ])的函数称为复合函数。
复合函数求导步骤:分解——求导——回代。
法则:y'|X= y'|U·u'|X 导数应用知识清单单调区间:一般地,设函数)(xfy=在某个区间可导,如果'f)(x0>,则)(xf为增函数;如果'f0)(<x,则)(xf为减函数;如果在某区间内恒有'f0)(=x,则)(xf为常数;2.极点与极值:曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;3.最值:一般地,在区间[a,b]上连续的函数f)(x在[a,b]上必有最大值与最小值。
①求函数ƒ)(x在(a,b)内的极值;②求函数ƒ)(x在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b);③将函数ƒ )(x 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。
二、热点题型分析题型一:利用导数研究函数的极值、最值。
1. 32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 22.已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值,则常数c = 6 ;3.函数331x x y -+=有极小值 -1 ,极大值 3题型二:利用导数几何意义求切线方程1.曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2.若曲线x x x f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ,则P 点的坐标为 (1,0)3.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为 430x y --=4.求下列直线的方程:(1)曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线; (2)曲线2x y =过点P(3,5)的切线;解:(1)123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=-上,在曲线点-x x y x x y P Θ所以切线方程为0211=+-+=-y x x y 即, (2)显然点P (3,5)不在曲线上,所以可设切点为),(00y x A ,则200x y =①又函数的导数为x y 2/=,所以过),(00y x A 点的切线的斜率为/2|0x y k x x ===,又切线过),(00y x A 、P(3,5)点,所以有352000--=x y x ②,由①②联立方程组得,⎩⎨⎧⎩⎨⎧====255 110000y x y x 或,即切点为(1,1)时,切线斜率为;2201==x k ;当切点为(5,25)时,切线斜率为10202==x k ;所以所求的切线有两条,方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即,或题型三:利用导数研究函数的单调性,极值、最值1.已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 (Ⅰ)若函数2)(-=x x f 在处有极值,求)(x f 的表达式;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数)(x f y =在[-3,1]上的最大值; (Ⅲ)若函数)(x f y =在区间[-2,1]上单调递增,求实数b 的取值范围解:(1)由.23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得 过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为:).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上故⎩⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧-=-=++3023323c a b a c a b a 即∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③由①②③得 a=2,b=-4,c=5 ∴.542)(23+-+=x x x x f (2)).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f 当;0)(,322;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时13)2()(.0)(,132=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 又)(,4)1(x f f ∴=在[-3,1]上最大值是13。
(3)y=f(x)在[-2,1]上单调递增,又,23)(2b ax x x f ++='由①知2a+b=0。
依题意)(x f '在[-2,1]上恒有)(x f '≥0,即.032≥+-b bx x①当6,03)1()(,16min ≥∴>+-='='≥=b b b f x f bx 时; ②当φ∈∴≥++=-'='-≤=b b b f x f bx ,0212)2()(,26min 时;③当.60,01212)(,1622min ≤≤≥-='≤≤-b b b x f b 则时综上所述,参数b 的取值范围是),0[+∞2.已知三次函数32()f x x ax bx c =+++在1x =和1x =-时取极值,且(2)4f -=-. (1) 求函数()y f x =的表达式;① ②(2) 求函数()y f x =的单调区间和极值;(3) 若函数()()4(0)g x f x m m m =-+>在区间[3,]m n -上的值域为[4,16]-,试求m 、n 应满足的条件.解:(1) 2()32f x x ax b '=++,由题意得,1,1-是2320x ax b ++=的两个根,解得,0,3a b ==-.再由(2)4f -=-可得2c =-.∴3()32f x x x =--.(2) 2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-,当1x <-时,()0f x '>;当1x =-时,()0f x '=; 当11x -<<时,()0f x '<;当1x =时,()0f x '=;当1x >时,()0f x '>.∴函数()f x 在区间(,1]-∞-上是增函数; 在区间[1,]-1上是减函数;在区间[1,)+∞上是增函数. 函数()f x 的极大值是(1)0f -=,极小值是(1)4f =-.(3) 函数()g x 的图象是由()f x 的图象向右平移m 个单位,向上平移4m 个单位得到的, 所以,函数()f x 在区间[3,]n m --上的值域为[44,164]m m ---(0m >). 而(3)20f -=-,∴4420m --=-,即4m =.于是,函数()f x 在区间[3,4]n --上的值域为[20,0]-. 令()0f x =得1x =-或2x =.由()f x 的单调性知,142n --剟,即36n 剟.综上所述,m 、n 应满足的条件是:4m =,且36n 剟.3.设函数()()()f x x x a x b =--.(1)若()f x 的图象与直线580x y --=相切,切点横坐标为2,且()f x 在1x =处取极值,求实数,a b 的值;(2)当b=1时,试证明:不论a 取何实数,函数()f x 总有两个不同的极值点.解:(1)2()32().f x x a b x ab '=-++ 由题意(2)5,(1)0f f ''==,代入上式,解之得:a=1,b=1.(2)当b=1时,()0f x '=令得方程232(1)0.x a x a -++= 因,0)1(42>+-=∆a a 故方程有两个不同实根21,x x . 不妨设21x x <,由))((3)(21'x x x x x f --=可判断)('x f 的符号如下: 当时,1x x <)('x f >0;当时,21x x x <<)('x f <0;当时,2x x >)('x f >0 因此1x 是极大值点,2x 是极小值点.,当b=1时,不论a 取何实数,函数()f x 总有两个不同的极值点。