试一试： 试一试：
2、把抛物线y=ax2+bx+c向下平移 个单位， 、把抛物线 向下平移1个单位 向下平移 个单位， 再向左平移5个单位时的顶点坐标为 个单位时的顶点坐标为（ ， ）， 再向左平移 个单位时的顶点坐标为（-2，0）， 的值。 且a+b+c=0，求a、b、c的值。 ， 、 、 的值 点拔： 点拔： 设原抛物线的解析式为y=a（x+m）2+n 设原抛物线的解析式为 （ ） 则平移后抛物线的解析式为y=a（x+m+5）2+n-1 则平移后抛物线的解析式为 （ ） 根据题意得： 根据题意得： − ( m + 5) = −2
n − 1 = 0
m = −3 n = 1
∴y=a（ ∴y=a（x-3）2+1=ax2-6ax+9a+1 ∴a∴a-6a+9a+1=0 ……
讲例： 讲例：
3、 已知：抛物线 、 已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示： 的图象如图所示： 的图象如图所示 y （1）求此抛物线的解析式； ）求此抛物线的解析式； 取何值时， （2）当x取何值时，y>0？ ） 取何值时 ？ （3）将抛物线作怎样的一次 ） 平移,才能使它与坐标轴仅有 平移 才能使它与坐标轴仅有 两个交点,并写出此时抛物线 两个交点 并写出此时抛物线 的解析式。 的解析式。 A B 5 x
则解析式为y=-3(x-2)2+5 则解析式为
试一试： 试一试：
1、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为 、已知：二次函数 的图象的顶点为P 的图象的顶点为 ），且与 轴有两个交点A、 （ 左 右 （-2，9），且与 轴有两个交点 、B（A左B右）， ， ），且与x轴有两个交点 S△ABC=27，求：（ ）二次函数的解析式；（ ）A、 ；（2） 、 ， ：（1）二次函数的解析式；（ B两点的坐标；（ ）画出草图；（ ）若抛物线与 轴 两点的坐标；（ ；（4）若抛物线与y轴 两点的坐标；（3）画出草图；（ 交于C点 求四边形ABCP的面积。 的面积。 交于 点，求四边形 的面积 (1)y=-x2-4x+5 (2)A(-5,0),B(1,0) (4)S=30
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讲例： 讲例：
3、 已知：抛物线 、 已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示： 的图象如图所示： 的图象如图所示 y （1）求此抛物线的解析式； ）求此抛物线的解析式； 取何值时， （2）当x取何值时，y>0？ ） 取何值时 ？ （3）将抛物线作怎样的一次 ） 平移,才能使它与坐标轴仅有 平移 才能使它与坐标轴仅有 两个交点,并写出此时抛物线 两个交点 并写出此时抛物线 的解析式。 的解析式。 A B 5 x
二次函数解析式的求法
（二）
回味知识点： 回味知识点：
二次函数解析式常见的三种表示形式： 二次函数解析式常见的三种表示形式： (1)一般式 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0) 一般式
y = a(x − m)2 + n(a ≠ 0)顶点坐标（ , n) 顶点坐标（ m (2)顶点式 顶点式
16a + 4b + c = 8 c = 0
A o C x
∴y=∴y=-x2+6x
4、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线 、如图，抛物线 与直线y=kx+4相交 与直线 相交 ），B（ ， ）两点， 于A（1，m）， （4，8）两点，与x轴交于原点 （ ， ）， 轴交于原点 ；（2） 及C点，（ ）求直线和抛物线的解析式；（ ） 点，（1）求直线和抛物线的解析式；（ 3 S△OCB， 在抛物线上是否存在点D， 在抛物线上是否存在点 ，使S△OCD= 2 若存在，求出点D；若不存在，请说明理由。 若存在，求出点 ；若不存在，请说明理由。 y （1）y=x+4 ） y=y=-x2+6x B 4，8） （ ， ） A o （6，0） ， ） C x
4、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线 、如图，抛物线 与直线y=kx+4相交 与直线 相交 ），B（ ， ）两点， 于A（1，m）， （4，8）两点，与x轴交于原点 （ ， ）， 轴交于原点 ；（2） 及C点，（ ）求直线和抛物线的解析式；（ ） 点，（1）求直线和抛物线的解析式；（ 3 S△OCB， 在抛物线上是否存在点D， 在抛物线上是否存在点 ，使S△OCD= 2 若存在，求出点D；若不存在，请说明理由。 若存在，求出点 ；若不存在，请说明理由。 y （2）S△OCB=24 ） 设点D坐标为（ ， ） 设点 坐标为（x，y） 坐标为
(3)交点式 y = a(x − x )( x − x )(a ≠ 0) 交点式 1 2
2 + bx + c 条件： y 条件：若抛物线 = ax X轴交于两点（ x 与 轴交于两点（ ,0)( x ,0)
1 2
讲例： 讲例：
1、已知：抛物线 、已知：抛物线y=ax2+bx+c过直线 过直线 式； 分析： 分析： 3 ∵直线 y = − x + 3 与x轴、y轴的交点为 轴 轴的交点为 ），（0， ） （2，0），（ ，3）则： 4a + 2b + c = 0 ， ），（ c = 3 a + b + c = 1
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讲例： 讲例：
3、 已知：抛物线 、 已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示： 的图象如图所示： 的图象如图所示 y （1）求此抛物线的解析式； ）求此抛物线的解析式； 取何值时， （2）当x取何值时，y>0？ ） 取何值时 ？ （3）将抛物线作怎样的一次 ） 平移,才能使它与坐标轴仅有 平移 才能使它与坐标轴仅有 两个交点,并写出此时抛物线 两个交点 并写出此时抛物线 的解析式。 的解析式。 A B 5 x
n = −1 则: 2 k + n =x2+bx+c的顶点坐标为 抛物线y=x +bx+c的顶点坐标为
4c − b 2 − b = 3 ⋅ − 1 ∴ 4 2 4 + 2b + c = 5
b 4c − b (− , ) 2 4
2
试一试： 试一试：
2、已知：二次函数y=ax2+bx+c有最大值，它与直 、已知 有最大值， 有最大值 讲例： ：二次函数 讲例： 交于A（ ， ）、 ）、B（ ， ）， ），且其中一 线 y=3x-1交于 （m，2）、 （n，5），且其中一 交于 个交点为该抛物线的顶点， 个交点为该抛物线的顶点，求（1）此二次函数的解 ） 析式；（ ；（2） 取何值时， 随 的增大而增大 的增大而增大。 析式；（ ）当x取何值时，y随x的增大而增大。 取何值时 分析： 分析： 先求出A、 两点的坐标 两点的坐标： （ ， ）、 ）、B（ ， ） 先求出 、B两点的坐标：A（1，2）、 （2，5） A（1，2）为顶点： ①若A（1，2）为顶点： 设解析式为y=a(x-1)2+2 设解析式为 ∵5=a+2 ∴a=3 又∵函数有最大值, 函数有最大值, ∴a=3不合,舍去. ∴a=3不合,舍去. 不合 ②若B（2，5）为顶点： （ ， ）为顶点： 设解析式为y=a(x-2)2+5 设解析式为 ∵2=a+5 ∴a=∴a=-3
2、已知:抛物线 、已知 抛物线 抛物线y=ax2+bx+c过点（-5，0）、 过点（ ， ）、 过点 5 （0， ）（ ，6）三点，直线 的解析式为 ， ）（1， ）三点，直线L的解析式为 2 y=2x-3，（ ）求抛物线的解析式；（ ）求证： ，（1）求抛物线的解析式；（ ；（2）求证： ，（ 抛物线与直线无交点；（ ）若与直线L平行的直 抛物线与直线无交点；（3）若与直线 平行的直 ；（ 线与抛物线只有一个交点P，求P点的坐标。 点的坐标。 线与抛物线只有一个交点 ， 点的坐标 1 5 点拔： 点拔：（1）y = x + 3 x + ） 2 2 （2）证抛物线和直线的解析式组成的方程组无解 ） （3）设与L平行的直线的解析式为 ）设与 平行的直线的解析式为y=2x+n 平行的直线的解析式为 则：此直线和抛物线的解析式组成的方程组只有一 个解。 个解。即△=0
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讲例： 讲例：
3、 已知：抛物线 、 已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示： 的图象如图所示： 的图象如图所示 y （1）求此抛物线的解析式； ）求此抛物线的解析式； 取何值时， （2）当x取何值时，y>0？ ） 取何值时 ？ （3）将抛物线作怎样的一次 ） 平移,才能使它与坐标轴仅有 平移 才能使它与坐标轴仅有 两个交点,并写出此时抛物线 两个交点 并写出此时抛物线 的解析式。 的解析式。 A B 5 x
1 3 ∴ × 6⋅ | y |= × 24 2 2
∴y=± ∴y=±12 ……
B 4，8） （ ， ） A o y=-x2+6x y=（6，0） ， ） C x
小结： 小结：
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讲例： ，抛物线 讲例如图 抛物线y=ax2+bx+c与直线 4、如图， 与直线y=kx+4相交 、： 与直线 相交
），B（ ， ）两点， 于A（1，m）， （4，8）两点，与x轴交于原点 （ ， ）， 轴交于原点 ；（2） 及C点，（ ）求直线和抛物线的解析式；（ ） 点，（1）求直线和抛物线的解析式；（ 3 S△OCB， 在抛物线上是否存在点D， 在抛物线上是否存在点 ，使S△OCD= 2 若存在，求出点D；若不存在，请说明理由。 若存在，求出点 ；若不存在，请说明理由。 y （1）y=x+4 ） A（1，5） （ ， ） B a + b + c = 5