大学物理——量子物理
定态薛定谔方程
i)
2
2m
2
U
(r
,
t
)
(r
,
t
)
若 U r,t 不显含时间，即
U
U(r )
与
t无关，则薛定谔方程
可分离变量。
设 r,t r f t
代入薛定谔方程，得：
r i
t
f
t
f
t
2
2m
2
U
r
r
id
f t dt
f
t
1
r
2
2m
2
U
r
r
上式 左边是 t 的函数
波函数的条件（单值、有限、连续、归一）。
特定的E 值称为能量本征值。
这些特定的E 值所对应的波函数称为能量本征函数。 这一方程又称为能量本征值方程。
这一波函数所描述的量子态称为定态。
定态: 能量取确定值的状态
定态波函数
E
(r
,
t
)
C
E
(r
)
e
i
Et
一维定态薛定谔方程：
[
2
2m
d2 d x2
U( x)] ( x)
E ( x)
对自由粒子，U = 0，一维情况下，上式成为：
2
2m
d2
d x2
E
其解为
i 2mE x
(
x
)
B0e
B0e
i
p
x
其中 p 2mE
(x,t) (x)
f (t)
i
B0e
p x
i Et
Ce
i ( Et px )
0e
这正是自由粒子的波函数，E正是粒子的能量，p正是粒子的 动量。
谢谢
右边是
r
的函数
且两变量相互独立
两边必须等于同一 个常量时才成立
id
f t dt
f
t
1
r
2
2m
2
EP
r
r
E
左边:
i d f t Ef t
dt
f
t
iEt
Ce
── 振动因子
式中E具有能量量纲，C 可以是复数。
右边:
2
2m
2
U
r
r
E
r
它的解依赖于
U(r )
的形式
定态薛定谔方程
从数学上来讲： E 不论为何值，该方程都有解。 从物理上来讲： E 只有取一些特定值,该方程的解才能满足