第四章 数列[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n －5）是该数列的前几项之和.正解：（1）a n =3n －2;(2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n －1项的和.[例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12++=n n S n求数列{}n a 的通项公式。

正解： ①当1=n 时，111==S a 当2≥n 时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合，∴34-=n a n ②当1=n 时，311==S a 当2≥n 时，nn n n n a n 21)1()1(122=-----++= ∴ ⎩⎨⎧=n a n 23)2()1(≥=n n [例3] 已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。

正解：由题意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+7022930301029101011d a d a 得152,521==d a 代入得S 40 ＝1204023940401=⨯⨯+d a 。

[例5]已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25－5n ，求数列{}||n a 的前n 项和；正解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+--≤-6,502)5)(520(5,2)545(n n n n n n[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n 项和的公式吗？[例7]已知：nn a -+=12lg 1024 （3010.02lg =）+∈N n （1） 问前多少项之和为最 大？（2）前多少项之和的绝对值最小？ 解：（1） ⎩⎨⎧<-=≥-+=+02lg 102402lg )1(10241n a n a n n 3403340112lg 10242lg 1024<<⇒+≤<⇒n n∴3402=n （2） 0)2lg (2)1(1024=--+=n n n S n 当n n S S 或0=近于0时其和绝对值最小 令：0=n S 即 1024+0)2lg (2)1(=--n n 得：99.680412lg 2048≈+=n ∵ +∈N n ∴6805=n [例8]项数是n 2的等差数列，中间两项为1+n n a a 和是方程02=+-q px x 的两根，求证此数列的和n S 2是方程 0)lg (lg lg )lg (lg lg 2222=+++-p n x p n x 的根。

（02>n S ） 证明：依题意p a a n n =++1∵p a a a a n n n =+=++121 ∴npa a n S n n =+=2)(2212 ∵0)lg (lg lg )lg (lg lg 2222=+++-p n x p n x ∴ 0)lg (lg 2=-np x ∴n S np x 2== （获证）。

四、典型习题导练1．已知nn n S a a 2311+==-且，求n a 及n S 。

2．设)1(433221+++⨯+⨯+⨯=n n a n Λ，求证：2)1(2)1(2+<<+n a n n n 。

3.求和: n+++++++++++ΛΛ3211321121114.求和： )12()34()9798()99100(22222222-+-++-+-Λ5.已知c b a ,,依次成等差数列，求证：ab c ac b bc a ---222,,依次成等差数列.6.在等差数列{}n a 中， 40135=+a a ，则 =++1098a a a （ ）。

A ．72B ．60C ．48D ．367. 已知{}n a 是等差数列，且满足)(,n m m a n a n m ≠==，则n m a +等于________。

8.已知数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 成等差数列，且713,61153-=-=a a ，求8a 的值。

§4.2等比数列的通项与求和三、经典例题导讲[例1] 已知数列{}n a 的前n 项之和S n =aq n（q q a ,1,0≠≠为非零常数），则{}n a 为（ ）。

A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列正解：当n ＝1时，a 1=S 1＝aq;当n>1时，)1(11-=-=∴--q aq S S a n n n nq a a nn =∴+1（常数） 但q q a a ≠-=112Θ∴{}n a 既不是等差数列，也不是等比数列，选C 。

[例2] 已知等比数列{}n a 的前n 项和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于. 错解：S 30= S 10·q 2. ∴ q 2＝7，q ＝7±，∴ S 40= S 30·q =770±.错因：是将等比数列中S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m 成等比数列误解为S m , S 2m , S 3m 成等比数列.正解：由题意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--701)1(101)1(301101qq a q q a 得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=-)(3210110101舍去或q q q a ， ∴S 40=20011401=--）（q qa . [例3] 求和：a+a 2+a 3+…+a n.错解： a+a 2+a 3+…+a n＝aa n--11.错因：是（1）数列｛a n｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n 项和公式（2）用等比数列前n 项和公式应讨论q 是否等于1.正解：当a ＝0时，a+a 2+a 3+…+a n＝0;当a ＝1时，a+a 2+a 3+…+a n＝n;当a ≠1时， a+a 2+a 3+…+a n＝aa n--11.[例4]设d c b a ,,,均为非零实数，()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ，求证：c b a ,,成等比数列且公比为d 。

证明：证法一：关于d 的二次方程()()0222222=+++-+c b d c a b d b a 有实根，∴()()0)(44222222≥++-+=∆c b b a c a b ，∴()022≥--acb则必有：02=-ac b ，即ac b =2，∴非零实数c b a ,,成等比数列 设公比为q ，则aq b =，2aq c =代入()()02422222222=+++-+q a q a d aq a aq d q a a ∵()0122≠+a q ，即0222=+-q qd d ，即0≠=q d 。

证法二：∵()()0222222=+++-+c b d c a b d b a∴()()022222222=+-++-c bcd db babd d a∴()()022=-+-c bd b ad ，∴b ad =，且c bd = ∵d c b a ,,,非零，∴d bca b ==。

[例5]在等比数列{}n b 中，34=b ，求该数列前7项之积。

解：()()()45362717654321b b b b b b b b b b b b b b = ∵53627124b b b b b b b ===，∴前七项之积()2187333732==⨯[例6]求数列}21{n n ⨯前n 项和 解：n n n S 21813412211⨯++⨯+⨯+⨯=ΛΛΛΛ ①12121)1(161381241121+⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S Λ ②两式相减：112211)211(21212181412121++---=⨯-++++=n n n n n n n S ΛΛ n n n n n nn S 2212)2211(211--=--=∴-+[例7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg 的容器中倒出1kg 盐水，然后加入1kg 水，以后每次都倒出1kg 盐水，然后再加入1kg 水，问：(1)第5次倒出的的1kg 盐水中含盐多kg ？(2)经6次倒出后，一共倒出多少kg 盐？此时加1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{a n }，则：a 1= 0.2 （kg ）, a 2=21×0.2（kg ）, a 3= (21)2×0.2（kg ） 由此可见：a n = (21)n -1×0.2（kg ）, a 5= (21)5-1×0.2= (21)4×0.2=0.0125（kg ）。

(2)由(1)得{a n }是等比数列 a 1=0.2 , q =21)(003125.0200625.0)(00625.039375.04.0)(39375.0211)211(2.01)1(6616kg kg kg qq a S =÷=-=--=--=∴ 答：第5次倒出的的1kg 盐水中含盐0.0125kg ；6次倒出后，一共倒出0.39375kg盐，此时加1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。

四、典型习题导练1.求下列各等比数列的通项公式：1) a 1=-2, a 3=-82) a 1=5, 且2a n +1=-3a n3) a 1=5, 且11+=+n na a n n 2.在等比数列{}n a ，已知51=a ，100109=a a ，求18a . 3.已知无穷数列ΛΛΛΛ,10,10,10,105152515-n ，求证：（1）这个数列成等比数列 （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的101， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。

4.设数列{}n a 为ΛΛΛ1324,3,2,1-n nxx x x ()0≠x 求此数列前n 项的和。

5.已知数列{a n }中，a 1=-2且a n +1=S n ，求a n ,S n6.是否存在数列{a n }，其前项和S n 组成的数列{S n }也是等比数列，且公比相同？7.在等比数列{}n a 中，400,60,364231>=+=n S a a a a ，求n 的范围。

§4.3数列的综合应用三、经典例题导讲[例1]设{}n a 是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和.证明：12122121log 2log log +++n n n S S S ＞。

错解：欲证12122121log 2log log +++n n n S S S ＞只需证22121log log ++n n S S ＞2121log +n S即证：)(log 221+⋅n n S S ＞2121log +n S由对数函数的单调性，只需证)(2+⋅n n S S ＜21+n SΘ 2+⋅n n S S －21+n S＝221212221)1()1()1()1)(1(q q a q q q a n n n ------++ ＝－021<nq a∴ 2+⋅n n S S ＜21+n S∴ 原不等式成立.错因：在利用等比数列前n 项和公式时，忽视了q ＝1的情况.正解：欲证12122121log 2log log +++n n n S S S ＞只需证22121log log ++n n S S ＞2121log +n S即证：)(log 221+⋅n n S S ＞2121log +n S由对数函数的单调性，只需证)(2+⋅n n S S ＜21+n S 由已知数列{}n a 是由正数组成的等比数列，∴ q >0,01>a .若1=q ,则2+⋅n n S S －21+n S ＝2111])1[()2(a n a n na +-+ ＝－21a ＜0； 若1≠q ,2+⋅n n S S －21+n S＝221212221)1()1()1()1)(1(q q a q q q a n n n ------++ ＝－021<nq a∴ 2+⋅n n S S ＜21+n S∴ 原不等式成立.[例4]求数列ΛΛΛΛ,)23(1,,101,71,41,11132-+++++-n aa a a n 的前n 项和。