矩阵的合同，等价与相似的联系与区别

一、基本概念与性质

（一）等价：

1、概念。若矩阵A可以经过有限次初等变换化为B，则称矩阵A与B等价，记为A = B。

2、矩阵等价的充要条件：

A厂「 A.B同型，且人r（A）=r（B）

A -

B ：= {

存在可逆矩阵P和Q,使得PAQ=®立

3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。

（二）合同：

1、概念，两个n阶方阵A,B，若存在可逆矩阵P，使得A三B P T AP二B 成立，则称A,B合同，记作A三B该过程成为合同变换。

2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B均为实对称矩阵，则A二B=二次型X T A X 与X T BX有相等的E负惯性指数，即有相同的标准型。

（三）相似

1、概念：n阶方阵A,B，若存在一个可逆矩阵P使得B = P4AP成立，则称矩阵A,B相似，记为A~B。

2、矩阵相似的性质：

A T〜

B T, A k ~ B k,A- ~ B-(前提，A, B均可逆)

|XE-A |=|XE -B|即A,B有相同的特征值(反之不成立)

A ~

B r(A)=r(B)

tr(A) =tr(B)即A,B的逆相等

|A|=|B|

3、矩阵相似的充分条件及充要条件:

①充分条件：矩阵A,B有相同的不变因子或行列式因子。

②充要条件：A〜Bu (.E—AtCE—B)

二、矩阵相等、合同、相似的关系

(一)、矩阵相等与向量组等价的关系：

设矩阵 A 乂i,，2,||l, n)，B=C'1, -2JH, m)

1、若向量组(川，d )是向量组(’1,'2,川Jn )的极大线性无关组，则有m ^n，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B与A亦不同型，虽然r(A)=r(B)但不能得出A三B。

2、若m=n，两向量组('1,'2^1,'n)= ( -1, -2^1, -m )则有矩阵A,B 同型且

r(A)二r(B)二 A 〜B, ALJ B, A 二 B r( A) = r (B)= Am B。

3、若A三B= r( A) = r(B)=两向量组秩相同，•二两向量组等价，即有

A 三

B =(1, ‘2,川，n)三Ci「2,川，常)

综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。

(二)、矩阵合同。相似，等价的关系。

1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。

2、合同、相似、等价之间的递推关系

①相似=等价：A〜B=A,B同型且r(A)=r(B)= A三B

②合同=等价：ALI B= A,B同型且r(A) =r(B)= A三B

③相似与合同之间一般情况不能递推，但有一下附加条件时可以

I、若A,B均为实对称矩阵，则有A,B 一定可以合同于对角矩阵当

A~ B 时，|人E—A|=|XE—B=二次型f(x)=X T AX 与g(x)=X T BX 有相同的

标准型，即二者有相同的正负惯性指数=AL B= A三B

即有A~ B= AL B= A 三 B

H、存在一个正交矩阵P，即P T P二E使得P T AP二B即AL B则有

B = P T AP 二F1 A宀 A B 即有AL B二A~ B

皿、若A,B实对称，且存在一个正交矩阵P,则

A~ B 时有 A 〜B= A LB U A 二 B

w、A〜B= r(A) =r(B)、B= r( A) =r(B)、 A 三B= r (A) = r (B)

下面讨论r(A) =r(B)时A~ B,A[J B, A三B成立的条件。

由I、H、皿的论述可知

存在正交矩阵P时，有P T = P J，则

r(P T AP)汀(A)记B = P T AP则r(A)二r(B)

此匕时AL B= A〜B= A三B

即P为正交矩阵时，由r(A) =：r(B)= A〜B,A[J B, A三B

(三)

I、矩阵等价：①同型矩阵而言

②一般与初等变换有关

③秩是矩阵等价的不变量，同次，两同型矩阵相似的

本质是秩相等

2、矩阵相似：①针对方阵而言

②秩相等是必要条件

③本质是二者有相等的不变因子

3、矩阵合同：①针对方阵而言，一般是对称矩阵

②秩相等是必需条件

③本质是秩相等且存在惯性指数相等，即标准型同

由以上知，秩是矩阵等价的不变量；不变因子是矩阵相似的不变量；特征值是可对角化矩阵相似的不变量，存在负惯性指数是对称矩阵合同的不变量，等价关于最弱、合同与相似是特殊的等价关系。由相似和合同一定可以推出等价，而反之不成立。相似与合同不可互推，需要一定的条件。而且相似不一定会都与对角阵相似，不能与对角阵可看作同意线性变换在不同基下的矩阵