《函数的基本性质》知识总结大全沛县第二中学数学组 张驰1.单调性函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。

⑴函数单调性的定义一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．如果对于区间I 内的______两个值1x ，2x ，当1x <2x 时，都有1()f x _____2()f x ，那么()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调_____区间. 如果对于区间I 内的______两个值1x ，2x ，当1x <2x 时，都有1()f x _____2()f x ，那么()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调_____区间.如果函数()y f x =在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么函数()y f x =在区间I 上具有________.点评 单调性的等价定义：①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时，有0)()(21<-x f x f 0)]()([)(2121>-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121>∆∆⇔>--⇔xy x x x f x f ； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时，有0)()(21>-x f x f 0)]()([)(2121<-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121<∆∆⇔<--⇔x y x x x f x f ； ⑵函数单调性的判定方法①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法（用于小题），⑥结论法等. 注意：①定义法（取值——作差——变形——定号——结论）：设12[]x x a b ∈，，且12x x ≠，那么0)]()([)(2121>-⋅-x f x f x x 0)()(2121>--⇔x x x f x f )(x f ⇔在区间],[b a 上是增函数；0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x 0)()(2121<--⇔x x x f x f )(x f ⇔在区间],[b a 上是减函数。

②导数法（选修）：在()f x 区间()a b ，内处处可导，若总有'()0f x >（'()0f x <），则()f x 在区间()a b ，内为增（减）函数；反之，()f x 在区间()a b ，内为增（减）函数，且处处可导，则'()0f x ≥（'()0f x ≤）。

请注意两者之间的区别，可以“数形结合法”研究。

点评 判定函数的单调性一般要将式子)()(21x f x f -进行因式分解、配方、通分、分子（分母）有理化处理，以利于判断符号；证明函数的单调性主要用定义法和导数法。

提醒 求单调区间时，不忘定义域；多个单调性相同的区间不一定能用符号“”连接；单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示。

判定函数不具有单调性时，可举反例。

⑶与函数单调性有关的一些结论①若()f x 与()g x 同增（减），则()f x ＋()g x 为增（减）函数，(())f g x 为增函数； ②若()f x 增，()g x 为减，则()f x －()g x 为增函数，()g x －()f x 为减函数，(())f g x 为减函数；③若函数()y f x =在某一范围内恒为正值或恒为负值，则()y f x =与1()y f x =在相同的单调区间上的单调性相反；④函数()y f x =与函数()(0)y f x k k =+≠具有相同的单调性和单调区间；⑤函数()y f x =与函数()(0)y kf x k =>具有相同的单调性和单调区间，函数()y f x =与函数()(0)y kf x k =<具有相同单调区间上的单调性相反。

2.奇偶性函数的奇偶性是研究函数在定义域内的图象是否关于原点中心对称，还是关于y 轴成轴对称，是研究函数图象的结构特点；⑴函数奇偶性的定义一般地，设函数()y f x =的定义域为A ．如果对于_____的x A ∈，都有()f x -=_____，那么函数()y f x =是偶函数. 一般地，设函数()y f x =的定义域为A ．如果对于_____的x A ∈，都有()f x -=_____，那么函数()y f x =是奇函数. 如果函数()y f x =是奇函数或偶函数，那么函数()y f x =具有________.注意 具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称，因此，确定函数奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。

⑵图象特征函数()y f x =为奇（偶）函数⇔函数()y f x =的图象关于原点（y 轴）成中心（轴）对称图形。

注意 定义域含0的偶函数图象不一定过原点；定义域含0的奇函数图象一定过原点；利用函数的奇偶性可以把研究整个函数问题转化到一半区间上，简化问题。

点评①函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．. ②)(x f 是奇函数()()()()()01()f x f x f x f x f x f x -⇔-=-⇔-+=⇔=-. ③)(x f 是偶函数()()()()()01()f x f x f x f x f x f x -⇔-=⇔--=⇔=. ④奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f . ⑤在关于原点对称的单调区间内：（ⅰ）奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；（ⅱ）奇函数有相反的最值（极值），偶函数有相同的最值（极值）。

⑥)(x f 是偶函数⇔(||)()f x f x =.⑶奇偶性的判定方法若所给函数的解析式较为复杂，应先考虑其定义域并等价变形化简后，再判断其奇偶性.如判断函数()f x =法；②图像法；③结论法等. 点评 定义法判定函数的奇偶性先求定义域，看其是否关于原点对称，若对称，再求()f x -，接着考察()f x -与()f x 的关系，最后得结论.判断函数不具有奇偶性时，可用反例。

⑷与函数的奇偶性有关的一些结论①若()f x 与()g x 同奇（偶），则()f x ±()g x 为奇（偶）函数，()f x ()g x 和()()f x g x 为偶函数，(())f g x 为奇（偶）函数；②若()f x 与()g x 一奇一偶，则()f x ()g x 和()()f xg x 为奇函数，(())f g x 为偶函数； ③定义域关于原点对称的函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和的形式。

⑸函数按奇偶性分类①奇函数非偶函数，②偶函数非奇函数，③既是奇函数又是偶函数，④非奇非偶函数。

点评既奇又偶的函数有无数个。

如()0f x =定义域关于原点对称即可。

如函数()f x ＝。

3.周期性函数的周期性是研究一些函数图象在定义域内具有某种一定的周期变化规律；⑴函数周期性的定义一般地，对于函数()f x ，如果存在一个________的常数T ，使得定义域内的________ x 值，都满足()________f x T +=，那么函数()f x 称为周期函数，________常数T 叫做这个函数的周期。

如果一个周期函数()f x 的所有的周期中存在一个________的____数，那么这个数叫做函数()f x 的最小周期正周期。

如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

点评 ①非零常数T 是周期函数本身固有的性质，与自变量x 的取值无关；②若非零常数T 是函数()f x 的周期，则非零常数T 的非零整数倍（nT n Z ∈，，且0)n ≠也是函数()f x 的周期；③若函数()f x 的周期为T ，则函数()y Af x ωϕ=+（其中A ，ω，ϕ为常数，且0A ≠，0ω≠）的周期为||T ω；④定义中的等式()f x T +=()f x 是恒等式；⑤函数()f x 的周期是T ⇔()f x T +=()f x 。

⑵三角函数的周期①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ； ④||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y ； ⑶函数周期的判定①定义法（试值） ②图像法 ③公式法（利用（2）中结论）④结论法。

⑷与周期有关的一些结论①)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ⇒)(x f 的周期为a 2；②()f x 是偶函数,其图像又关于直线x a =对称⇒()f x 的周期为2||a ；③()f x 奇函数,其图像又关于直线x a =对称⇒()f x 的周期为4||a ；④()f x 关于点(,0)a ,(,0)b ()a b ≠对称⇒()f x 的周期为2||a b -；⑤()f x 的图象关于直线x a =,()x b a b =≠对称⇒函数()f x 的周期为2||a b -； ⑥()f x 的图象关于点)0,(a 中心对称，直线b x =轴对称⇒)(x f 周期为4b a -； ⑦()f x 对x R ∈时,()()f x a f x +=-或1()()f x f x a +=-⇒()f x 的周期为2||a ； ⑧函数()f x 满足1()()1()f x f x a f x ++=-，且a 为非零常数⇒()f x 的周期为4||a ； ⑨函数()f x 满足()()()2f x a f x a f x +=+-（a 为非零常数）⇒()f x 的周期6||a 。

点评 注意对称性与周期性的关系。

4.对称性函数的对称性是研究函数图象的结构特点（即函数图象关于某一点成中心对称图形或关于某一条直线成轴对称图形）；⑴函数对称性的定义如果函数()y f x =的图象关于直线x a =成____对称或点()a b ，成______对称，那么()y f x =具有对称性。

注意 利用函数的对称性可以把研究整个函数问题转化到一半区间上，简化问题。

⑵函数图象对称性的证明证明函数()y f x =图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；⑶与对称性性有关的一些结论①函数()y f x =的图象关于直线x a =成轴对称⇔()()f a x f a x -=+。

特别地，当0a =时，函数()y f x =为偶函数。

②函数()y f x =的图象关于点()a b ，成中心对称⇔()()2f a x f a x b -++=。