卓越个性化教案【知识点梳理】一、函数的单调性1．单调函数的定义（1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。
（2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。
（3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。
那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。
2、单调性的判定方法 （1）定义法○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2 作差f (x 1)－f (x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）。
（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。
（3）复合函数的单调性的判断：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。
也就是说：同增异减（类似于“负负得正）（4）在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。
二、函数的奇偶性 1．奇偶性的定义：（1）偶函数：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数。
（2）奇函数：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数。
（3）奇偶性：如果函数()f x 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()f x 具有奇偶性。
补充说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： ①其定义域关于原点对称；②()()f x f x -=或()()f x f x -=-必有一成立。
判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算()f x -，看是等于()f x 还是等于()f x -，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。
③无奇偶性的函数是非奇非偶函数。
④函数0)(=x f 既是奇函数也是偶函数。
⑤奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称。
⑥奇函数若在0x =时有定义，则(0)0f =．2、函数的奇偶性判定方法 （1）定义法 （2）图像法 （3）性质法三、函数的最值 （1）定义：最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。
最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。
注意：○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ； ○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )≥M ）。
（2）利用函数单调性判断函数的最大（小）值的方法：○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值； ○2 利用图象求函数的最大（小）值； ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值： 如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，在区间[b ，c ]上单调递减则函数y =f (x )在x =b 处有最大值f (b )；如果函数y =f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，在区间[b ，c ]上单调递增则函数y =f (x )在x =b 处有最小值f (b )；四、函数的周期性（1）定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数；（2）性质：①f (x+T )= f (x )常常写作),2()2(Tx f T x f -=+若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期；②若周期函数f (x )的周期为T ，则f (ωx )（ω≠0）是周期函数，且周期为||ωT 。
【典型例题】 一、函数的单调性 例1．(1)()(21),f x a x b R =-+设函数是上的减函数则a 的范围为( ) A ．12a ≥ B ．12a ≤ C ．12a >- D ．12a <(2)函数2([0,)y x bx c x =++∈+∞)是单调函数的充要条件是( )A ．0b ≥B ．0b ≤C ．0b >D ．0b <(3)已知()f x 在区间(,)-∞+∞上是减函数,,a b R ∈且0a b +≤,则下列表达正确的是（ ）A ．()()[()()]f a f b f a f b +≤-+B ．()()()()f a f b f a f b +≤-+-C ．()()[()()]f a f b f a f b +≥-+D ．()()()()f a f b f a f b +≥-+-(4) 如右图是定义在闭区间上的函数()y f x =的图象,该函数的单调增区间为例2．画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1）22||1y x x =-++ （2）2|23|y x x =-++例3．根据函数单调性的定义，证明函数 在 上是减函数．例 4.设)(x f 是定义在R 上的函数，对m 、R n ∈恒有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当0>x 时，1)(0<<x f 。
（1）求证：1)0(=f ； （2）证明：R x ∈时恒有0)(>x f ；（3）求证：)(x f 在R 上是减函数； （4）若()(2)1f x f x ⋅->，求x 的范围。
二、奇偶性例6． 判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）·xx-+11； （3）2|2|1)(2-+-=x x x f ；（4）⎩⎨⎧>+<-=).0()1(),0()1()(x x x x x x x f点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。
例7．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，若当x ≥0时，f （x ）=lo g 3（1+x ），则f （－2）=____ 。
例8．已知()f x 是奇函数，当x ∈（0，1）时，1()lg1f x x=+，那么当x ∈（－1，0）时，()f x 的表达式是 ．例9．若奇函数()f x 是定义在（1-，1）上的增函数，满足2(2)(4)0f a f a -+-<，试求a 的取值范围例10． （普宁市城东中学09）已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数，若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。
三、周期性例11．已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()(11)y f x x =-≤≤是奇函数又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-。
①证明：(1)(4)0f f +=； ②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式； ③求()y f x =在[4,9]上的解析式。
补充：函数的性质综合题（单调性、奇偶性和周期性） 1． 已知xxx f a-+=11log )(（其中10≠>a a 且） （1）求f(x)的定义域 （2）判断f(x)的奇偶性（3）函数f(x)的零点是否存在？若存在，试求出其零点；若不存在，请说明理由。
2． 已知函数)2,0(,2)(∈+=x xx x f （1）求证函数在)2,0(上单调递减；（2）函数)(x f 在)2,2(上单调性如何？试结合（1）进行分析； （3）利用（1）、（2）的结论，试求出函数)(x f 在)2,0(上的最小值。
3． 已知函数)(x f 在R 上是增函数，且对任意的x,y 都满足1)2(),()()(=+=+f y f x f y x f （1）求f(1),f(4)的值；（2）若2)12()(≤-+x f x f ，求x 的取值范围。
4.已知函数k x f x+-=132)(是奇函数 （1）求实数k 的值；（2）判断f(x)在),0(+∞上的单调性，并给予证明； （3）当λ为何值时，关于方程]2,1[)(在λ=x f 上有实数解？5．某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间时，其生产的总成本y （万元）与年产量x(吨)之间的函数关系式近似的表示为400030102+-=x x y （1）每吨平均出厂价为16万元，年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润； （2）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本。
（参考：函数上是增函数上是减函数，在区间在区间),[],0()0(+∞>+=a a a xax y ）6． （番实高一级期中考试）设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f x x 且是定义域为R 的奇函数 （1）求k 值；（2）若0<a<1，指出函数)(x f 的单调性，并求使不等式0)4()(2<-++x f tx x f 恒成立的实数t 满足的条件； （3）若),1[)(2)(,23)1(22+∞-+==-在且x mf a a x g f x x ，上的最小值为-2，求m 的值。
7. 函数21)(xb ax x f ++=是定义在（-1,1）上的奇函数，且52)21(=f （1）求f(x)的解析式；（2）证明函数）上是增函数在（,11)(-x f ； （3）解不等式：0)()1(<+-t f t f【巩固练习】一、选择题1. 下列函数中，既是奇函数又是偶函数的是A. y=x+1B. 3x y = xy C 1.= x y D 3log .= 2．在区间)0,(-∞上为增函数的是（ ）A ．1=yB ．21+-=xxy C ．122---=x x y D ．21x y +=3．函数c bx x y ++=2))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围 （ ）A ．2-≥bB ．2-≤bC ．2->bD ． 2-<b4．已知函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，则下列各点中，不在函数y=f （x ）图象上的点是（ ）A.（-a ，f （a ））B.（-a ，f （-a ））C.（-a ，-f （-a ））D.（a ，f （-a ））5．若奇函数f （x ）在[a ，b]上是增函数，且最小值为1，则f （x ）在[-b ，-a]上是（ ）A.增函数且最小值是-1B.增函数且最大值是-1C.减函数且最小值是-1D.减函数且最大值是-16．设32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则f （x ）在区间（-5，-2）上是（ ）A.增函数B.减函数C.不具有单调性D.单调性由m 确定7． 已知R 上的奇函数的解集为则不等式上单调递增，且在0)(,0)2()0,()(≤=--∞x f f x f （） A. ]2,2[- B. ]2,0[]2,(⋃--∞ ),2[]2,.(+∞⋃--∞C ),2[]0,2.[+∞⋃-D 二、填空题8．以下五个函数：（1）)0(1≠=x xy ；（2）14+=x y ；（3）x y 2=；（4）x y 2log =； （5）)1(log 22++=x x y ，其中奇函数是____ __，偶函数是__ ____，非奇非偶函数是_________9. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当x>0时，32)(2--=x x x f ，则当x<0时，f(x)=10．定义在[-1，1]上的函数y=f （x ）是减函数，且是奇函数，若0)54()1(2>-+--a f a a f ，则实数a 的取值范围是_______。