第四讲 函数的基本性质.函数的单调性概念（1）增函数和减函数的概念如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性．区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． （3）函数的单调性等价变形 设[]2121,,x x b a x x ≠∈，那么 ①[]1212()()()0x x f x f x --> ⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；②[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.2.运算法则：如果函数)(x f 和)(x g 在相同区间上是单调函数,则（1）增函数+增函数是增函数；（2）减函数+减函数是减函数；（3)增函数-减函数是增函数；（4）减函数-增函数是减函数；3.常见函数的单调性：（1）一次函数b kx y +=，当0>k 时，在区间),(+∞-∞上是增函数，当0<k 时，在区间),(+∞-∞上是减函数；（2）反比例函数xky =，当0>k 时，在区间)0,(-∞和区间),0(+∞上是减函数，当0<k 时，在区间)0,(-∞和区间),0(+∞上是增函数（3）二次函数c bx ax y ++=2，当0>a 时，在区间)2,(ab--∞是减函数，在区间),2(+∞-a b 是增函数，当0<a 时，在区间)2,(a b --∞是增函数，在区间),2(+∞-ab是减函数.4.函数单调性判定方法①定义法：取值、作差、变形、定号、下结论 ②运算法则法④图像法，利用图像研究函数的单调性.1.根据函数的单调性的定义，证明函数1)(3+-=x x f 在),(+∞-∞上是减函数。

2.判断函数)0()(>+=p xpx x f 的单调性3.根据函数的单调性的定义，证明函数x x x f -+=1)(2在),(+∞-∞上是减函数。

4.函数)(x f 对任意的R b a ∈,都有1)()()(-+=+b f a f b a f ，且0>x 时，)(x f ＞1,（1）证明：)(x f 是R 上的增函数；（2）若5)4(=f ，解不等式：f （)232--m m 3<。

5.求下列函数的单调区间,1)(+=x xx f (2)32)(2-+=x x x f ，9696)()3(22++++-=x x x x x f6.(1)求函数f(x)=245x x --的单调增区间；（2）求函数201)(2--=x x x f 的单调区间。

7.若函数f(x)=ax x 22+-与xax g =)(在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围为 .8.若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=,0,)2(,0,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上为增函数，求实数b 的取值范围。

9.如果c bx x x f ++=2)(，对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+，比较)4(),2(),1(f f f 的大小。

10.(1)求函数23)(++-=x x x f 的值域；（2）求函数52132+-+=x x y 的最小值。

11.f(x)是定义在)2,1[-上的增函数，若)1(-a f ＞)31(a f -，求实数a 的取值范围。

课时训练6.1．下列函数在(0,1)上是增函数的是 A ．y x = B ．2y x=C ．31y x =-+D ．21y x =-+2．已知函数3()f x x=，则下面区间不是递减区间的是 A ．(0,)+∞ B ．(,0)-∞ C ．(,0)(0,)-∞+∞ D ．(1,)+∞3．函数3)(x x f =，]2,0[∈x ，则)(x f 的值域是A ．]8,0[B ．]6,0[C ．]6,1[D ．]8,1[ 4．函数()f x 是定义在(2,2)-上的减函数，则不等式()(2)f x f x >-的解集为 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(2,)+∞ D ．(,2)-∞ 5．若函数()1x f x x a-=+在(),1-∞-上是减函数，则a 的取值范围是 A ．(],1-∞- B ．(),1-∞- C ．(],1-∞ D ．(),1-∞ 6．设0<x <1，则函数111y x x=+-的最小值是________． 7．已知函数f (x )＝x 2–6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则实数a 的取值范围是________． 8．求证：函数2()1f x x =-在(1，＋∞)上是减函数．9．函数f (x )的图象如图所示.（1）根据图象指出函数f (x )的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数；（2）根据图象，结合（1）的结论，给出函数f (x )的最值情况.10．已知函数2()22,[5,5]f x x ax x =++∈-.（1）当1a =-时，求函数()f x 的最大值和最小值；（2）若函数()f x 在区间[5,5]-上是单调函数，求a 的取值范围.11． 函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则有 A ．f (1)≥25 B ．f (1)＝25 C ．f (1)≤25 D ．f (1)＞2512．函数()f x x =的值域是A ．[12，+∞） B ．（–∞，12] C ．（0，+∞） D ．[1，+∞） 13．已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值,{}min ,p q 表示,p q 中的较小值,记()1H x 的最小值为,A ()2H x 的最大值为B ,则A B -=A ．2216a a --B ．2216a a +-C ．16-D ．1614．若定义在R 上的函数)(x f 同时满足下列三个条件：①对任意实数b a ,均有)()()(b f a f b a f +=+成立；②41)4(=f ；③当0>x 时，都有0)(>x f 成立. （1）求)0(f ，)8(f 的值； （2）求证：)(x f 为R 上的增函数；（3）求解关于x 的不等式21)53()3(≤---x f x f .函数的奇偶性1.奇偶性的概念（1）()f x 是奇函数⇔对定义域内任意x ，都有()()f x f x -=-⇔对定义域内任意x ，都有()()0f x f x -+=⇔()f x 图像关于原点对称；（2）()f x 是偶函数⇔对定义域内任意x ，都有()()f x f x -=⇔对定义域内任意x ，都有()()0f x f x --=⇔()f x 图像关于y 轴对称； 2.若奇函数)(x f 在0=x 处有意义，则0)0(=f . 3.若函数)(x f 是偶函数，则|)(|)(x f x f =. 4.函数奇偶性的运算性质：（1）奇函数±奇函数是奇函数；（2）偶函数±偶函数是偶函数；（3）奇函数⨯奇函数是偶函数；（4）偶函数×偶函数是偶函数；（5）奇函数×偶函数是奇函数；（6）奇函数/奇函数是偶函数；（7）偶函数/偶函数是偶函数；（8）奇函数/偶函数是奇函数 5.函数奇偶性是研究函数在定义域上的整体性质.1.已知c b cx bx ax x f ++++=3)(23是定义在)2,1(b b -上的偶函数，求a,b,c 的值.2.判断下列函数的奇偶性 (1).1.1)(-+=x x x f (2)22)(++-=x x x f(3)11)(22++-=x x x f (4)221)(2-+-=x x x f(5)1111)(22+++-++=x x x x x f (6)⎪⎩⎪⎨⎧>-+-=<++=0,320,00,.32)(22x x x x x x x x f3.已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，对任意R b a ∈,，都有)()()(a bf b af ab f +=，（1）求)1(),0(f f 的值；（2）判断)(x f 的奇偶性，并证明你的结论。

4. （1）若)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数=a 。

（2）已知函数xa x x x f ))(1()(++=为奇函数，则=a 。

5.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时x x x f 2)(2-=，则当0<x 时,)(x f = .6.设)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，且11)()(-=+x x g x f ，求)(),(x g x f 的解析式。

7.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且1)(2+++=nx x mx x f ，求)(x f .8.已知)(x f =835+++bx ax x ，且10)2(=-f ，求)2(f 的值。

9.函数)(x f 是定义在R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则))25((f f 的值是( )A.0B.21C.1.D.25.10.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当]1,0[∈x 时，,)(x x f =则=)5.7(f 。

11（1）.已知偶函数)(x f 在),0[+∞上单调递增，则满足)12(-x f ＜)31(f 的x 的取值范围是A.)32,31( B )32,31[ C.)32,21( D.)32,21[（2）.若)(x f 是定义在R 上的奇函数，在]0,(-∞上递增，且0)1(=f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是 .13.定义在区间]2,2[-上的偶函数)(x g ，当0≥x 时，)(x g 单调递减，若)1(m g -＜)(m g 成立，求m 的取值范围。

14.设函数1)1()(22++=x x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则=+m M .课时训练71．下列函数中,既是奇函数又是增函数的是A ．1y x =+B ．2y x =- C ．1y x=D ．3y x = 2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且有(3)(1)f f >，则下列各式中一定成立的是 A ．(1)(3)f f -< B ．(0)(5)f f < C ．(3)(2)f f > D ．(2)(0)f f > 3．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，则()6f 的值为 A ．1- B ．0 C ．1 D ．24．已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是 A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．函数1()1f x x=+的图象大致是A ．B ．C ．D ．6．已知3()f x x x =+，,a b ∈R ，且0a b +>，则()()f a f b +的值一定A ．大于零B ．等于零C ．小于零D ．正负都有可能 7．如果定义在区间[3＋a,5]上的函数f (x )为奇函数，那么a 的值为________．8．已知)(x f 是偶函数，当0<x 时，)1()(+=x x x f ，则当0>x 时，=)(x f ． 9．已知函数21()1f x x =+，令1()()g x f x=．(1)如图，已知f (x )在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图象，请说明你的作图依据； (2)求证：f (x )＋g (x )＝1(x ≠0)．10．设()f x 是奇函数，对任意的实数,x y 有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <，则()f x 在区间[,]a b 上A ．有最大值()2a b f +B ．有最小值()2a b f + C ．有最大值()f a D ．有最小值()f a11．定义在R 上的偶函数()f x 满足：(4)(2)0f f =-=，在区间(,3)-∞-与[3,0]-上分别递增和递减，则不等式()0xf x >的解集为A ．(,4)(4,)-∞-+∞ B ．(4,2)(2,4)-- C ．(,4)(2,0)-∞-- D ．(,4)(2,0)(2,4)-∞--12．已知函数22()3px f x x q +=+是奇函数，且5(2)3f =，求实数p ，q 的值．13．若对一切实数x ，y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求f (0)，并证明：f (x )为奇函数；(2)若f (1)＝3，求f (－3)．。