不等式与线性规划知识讲解一、不等式的定义1.定义：用不等号（><≠，，≥，，…）连接的式子叫不等式 2.同解不等式变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解不等式变形．3.不等式的性质1）a b b a >⇔<（反身性或对称性） 2）a b >，b c a c >⇒>（传递性） 3）a b a c b c >⇔+>+4）,a b c d >>，则a c b d +>+．5）a b >，0c >，则ac bc >；如果a b >，0c <，则ac bc <． 6）00a b c d >>>>，，则ac bd >． 7）0a b >>，则(,1)n na b n n +>∈>N ．8）0a b >>,1)n n +∈>N二、不等式的解法1.一元二次不等式的解集如下表2.分式不等式的解法1）()0()()0()f x f x g x g x >⇔⋅> 2）()0()()0()f x f x g x g x ≥⇔⋅≥且()0g x ≠ 3）()()()(00()[()()]0)()()f x f x ag x a a g x f x ag x g x g x ->≠⇔>⇔-> 3.无理不等式的解法12()0()()0()[()]f xg x g x f x g x ⎧≥⎪>⇔≥⎨⎪>⎩或()0()0f x g x ≥⎧⎨<⎩22()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ⎧≥⎪⇔≥⎨⎪<⎩4.绝对值不等式1）绝对值的几何意义：①||x 是指数轴上点x 到原点的距离；②12||x x -是指数轴上12x x ，两点间的距离2）当0c >时，||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<； 当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈． 3）绝对值不等式的解法①公式法|()|()()()f x g x f x g x >⇔>或()()f x g x <- |()|()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<②平方法 ③分情况讨论法4.高次不等式（穿线法：）一般高次不等式()0f x >用数轴穿根法（或称穿线法）求解，其步骤是： 1）将()f x 最高次项的系数化为正数；2）将()f x 分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；3）将每个因式的标在数周上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根，偶次方穿而不过，奇次方根穿又过，即所谓的奇穿偶不穿）；三、基本不等式均值定理：定理：对于任意实数a b ，，222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立 推论：如果a b ，，是正数，那么2a b+，当且仅当a b =时，有等号成立． 四、线性规划的有关概念1.约束条件：由未知数,x y 的不等式（或方程）组成的不等式组成为,x y 的约束条件．不等式组25003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩就是,x y 的一个约束条件．2.线性约束条件：关于未知数,x y 的一次不等式（或方程）组成的不等式组成为,x y 的线性约束条件，不等式组230236035150x y x y x y -->⎧⎪+-<⎨⎪--<⎩就是,x y 的一个约束条件．3.目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式．如：已知,x y满足约束条件4335251x yx yx-≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，分别确定,x y的值，使2z x y=+取到最大值和最小值使z'2z x y=+和z'=4.线性目标函数：目标函数为变量,x y的一次解析式．如上例中，2z x y=+为线性目标函数，而z'=5.线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最值问题．6.可行解：满足约束条件的解(),x y．7.可行域：所有可行解组成的集合．8.最优解：使目标函数取得最值的可行解．五、线性规划的图解法1.画：在直角坐标平面上画出可行域和直线0ax by+=（目标函数为z ax by=+）2.移：平行移动直线0ax by+=，确定使z ax by=+取得最大值或最小值的点．3.求：求出取得最大值或最小值的坐标（解方程组）及最大值和最小值．经典例题一．选择题（共2小题）1．（2018春•台州期末）已知a，b∈R，a+b=2．则+的最大值为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：a，b∈R，a+b=2．则+====，令t=ab﹣1=a（2﹣a）﹣1=﹣（a﹣1）2≤0，则=，令4﹣2t=s（s≥4），即t=，可得==，由s+≥2=8，当且仅当s=4，t=2﹣2时上式取得等号，可得≤=，则+的最大值为，故选：C．2．（2018春•海淀区校级期中）设a，b∈R，下列不等式中一定成立的是（）A．a2+3＞2a B．a2+b2＞0C．a3+b3≥a2b+ab2D．a+≥2【解答】解：A：将不等式转化为a2﹣2a+3=（a﹣1）2+2＞0恒成立，A对．B：a2+b2≥0，B错C：将不等式转化为a2（a﹣b）+b2（b﹣a）=（a﹣b）（a2﹣b2）=（a﹣b）2（a+b）不一定大于等于0，C错．D：如果想要用基本不等式，需要满足a＞0，D错．故选：A．二．填空题（共5小题）3．（2016秋•东湖区校级期末）已知实数x，y满足x2+y2=2x，则x2y2的取值范围是[0，]．【解答】解：由x2+y2=2x，得y2=2x﹣x2≥0，∴0≤x≤2，x2y2=x2（2x﹣x2）=2x3﹣x4．设f（x）=2x3﹣x4（0≤x≤2），则f′（x）=6x2﹣4x3=2x2（3﹣2x），当0＜x＜时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，）上单调递增；当＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）在（，2）上单调递减，∴当x=时，函数取得极大值，也是最大值，f（）=，当x=0、x=2时，f（x）=0，∴函数f（x）的值域为[0，]，即0≤x2y2≤．故答案为：[0，]．4．（2018春•定州市校级期末）已知实数x，y满足3x﹣y≤ln（x+2y﹣3）+ln（2x ﹣3y+5），则x+y=．【解答】解：由f（t）=lnt﹣t+1的导数为：f′（t）=﹣1=，当t＞1时，f′（t）＞0，f（t）递增，当0＜t＜1时，f′（t）＜0，f（t）递减，可得f（t）的最大值为f（1）=0，即有lnt≤t﹣1，则ln（x+2y﹣3）+ln（2x﹣3y+5）≤x+2y﹣3﹣1+2x﹣3y+5﹣1=3x﹣y，当且仅当x+2y﹣3=2x﹣3y+5=1时，取得等号，则x=，y=，可得x+y=，故答案为：．5．（2017•浙江模拟）已知a，b∈R，且a≠﹣1，则|a+b|+|﹣b|的最小值是1．【解答】解：a，b∈R，且a≠﹣1，则|a+b|+|﹣b|≥=|a+1+﹣1|≥|2﹣1|=1，当且仅当a=0时取等号．故答案为：1．6．已知函数f（x）=x2﹣|x|，集合P={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，则y=f（x）的最小值为﹣，在平面直角坐标系内集合P所表示的区域的面积是2+π．【解答】解：∵f（x）=x2﹣|x|=（|x|﹣）2﹣，∴当|x|=时，函数f（x）取得最小值为﹣，由f（x）+f（y）≤0得x2﹣|x|+y2﹣|y|≤0，即（|x|﹣）2+（|y|﹣）2≤，当x≥0，y≥0时，不等式等价为（x﹣）2+（y﹣）2≤，则对应图象为以（，）为圆心，半径为的圆内部分，则三角形OAB的面积S==，半圆的面积S=（）2=，则第一象限部分的面积S=+，则集合P对应区域为第一象限的4倍，即总面积S=4×（+）=2+π，故答案为：﹣，2+π7．（2015•南昌模拟）若平面区域是一个三角形，则k的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（0，]．【解答】解：直线y+2=k（x+1）表示过（﹣1，﹣2）的直线，根据约束条件画出可行域如图：平面区域是一个三角形，就是图中阴影部分，所以k∈（﹣∞，﹣2）∪（0，]故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，]．三．解答题（共9小题）8．（2017春•天津期中）解关于x的不等式：mx2﹣（m﹣2）x﹣2＞0．【解答】题：不等式：mx2﹣（m﹣2）x﹣2＞0化为（mx+2）（x﹣1）＞0；当m≠0时，不等式对应方程为（x+）（x﹣1）=0，解得实数根为﹣，1；当m＞0时，不等式化为（x+）（x﹣1）＞0，且﹣＜1，∴不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）；当﹣2＜m＜0时，不等式化为（x+）（x﹣1）＜0，且1＜﹣，∴不等式的解集为（1，﹣）；当m=﹣2时，﹣=1，不等式化为（x﹣1）2＜0，其解集为∅；当m＜﹣2时，不等式化为（x+）（x﹣1）＜0，且﹣＜1，∴不等式的解集为（﹣，1）；当m=0时，不等式化为2（x﹣1）＞0，解得x＞1，∴不等式的解集为（1，+∞）；综上，m＞0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）；﹣2＜m＜0时，不等式的解集为（1，﹣）；m=﹣2时，不等式的解集为∅；m＜﹣2时，不等式的解集为（﹣，1）；m=0时，不等式的解集为（1，+∞）．9．（2018•江苏）若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．【解答】解：由柯西不等式得（x2+y2+z2）（12+22+22）≥（x+2y+2z）2，∵x+2y+2z=6，∴x2+y2+z2≥4是当且仅当时，不等式取等号，此时x=，y=，z=，∴x2+y2+z2的最小值为410．（2017•甘肃一模）已知函数f（x）=（m+）lnx+﹣x，（其中常数m＞0）．（1）当m=2时，求f（x）的极大值；（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q （x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．【解答】解：（1）当m=2时，（x＞0）令f′（x）＜0，可得＜＜或x＞2；令f′（x）＞0，可得＜＜，∴f（x）在，和（2，+∞）上单调递减，在，单调递增故极大（2）（x＞0，m＞0）①当0＜m＜1时，则＞，故x∈（0，m），f′（x）＜0；x∈（m，1）时，f′（x）＞0此时f（x）在（0，m）上单调递减，在（m，1）单调递增；②当m=1时，则，故x∈（0，1），有＜恒成立，此时f（x）在（0，1）上单调递减；③当m＞1时，则＜＜，故，时，f′（x）＜0；，时，f′（x）＞0此时f（x）在，上单调递减，在，单调递增（3）由题意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）即 ⇒∵x1≠x2，由不等式性质可得＜恒成立，又x1，x2，m＞0∴＜⇒＞对m∈[3，+∞）恒成立令，则＞对m∈[3，+∞）恒成立∴g（m）在[3，+∞）上单调递增，∴故从而“＞对m∈[3，+∞）恒成立”等价于“＞”∴x1+x2的取值范围为，11．（2016•上海模拟）对于函数f（x），g（x），记集合D f＞g={x|f（x）＞g（x）}．（1）设f（x）=2|x|，g（x）=x+3，求D f＞g；（2）设f1（x）=x﹣1，，h（x）=0，如果＞＞．求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由2|x|＞x+3，得D f＞g={x|x＜﹣1或x＞3}；（2）方法一：＞＞＞，＞＞，由＞＞＞，或＞，，其中＞＞，则＞在R上恒成立，令，，a＞﹣t2﹣t，＜，∴a≥0时成立．对于＞，，其中＞以下只讨论a＜0的情况对于＞，=t＞0，t2+t+a＞0，解得t＜或t＞，（a＜0）又t＞0，所以＞即＞⇒＜，∴＞=⇒＞综上所述：＞方法二（2）＞＞＞，＞＞，由＞＞＞，或＞，，其中＞a≥0．显然＞恒成立，即x∈Ra＜0时，＞，在x≤1上恒成立令，，＞，，所以，＞＞综上所述：＞．12．（2017秋•腾冲县校级期中）已知函数g（x）=（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数的图象．（1）求实数a的值；（2）解不等式f（x）＜log a；（3）|g（x+2）﹣2|=2b有两个不等实根时，求b的取值范围．【解答】解：（1）∵函数g（x）=（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，∴A（2，2）…2分又点A在函数f（x）上，∴f（2）==2，∴2+a==3，∴a=1…4分（2）f（x）＜log a⇔ ＜=0…6分⇒0＜x+1＜1⇒﹣1＜x＜0⇒不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}…8分（3）|g（x+2）﹣2|=2b⇒|2x+1﹣2|=2b⇒|2x﹣1|=2b…10分若x＜0，0＜2x＜1，∴﹣1＜2x﹣1＜0；∴0＜|2x﹣1|＜1；若x＞0，则2x＞1，∴2x﹣1＞0；∴0＜2b＜1，故b的取值范围为（0，）…12分13．（2018•南通一模）已知a＞1，b＞1，求+的最小值．【解答】解：∵a＞1，b＞1；∴a﹣1＞0，b﹣1＞0；∴，；两式相加：；∴；当且仅当，且时“=”成立；即a=b=2时，取得最小值8．14．（2017秋•杨浦区校级期末）已知关于x的不等式log2（﹣2x2+3x+t）＜0，其中t∈R．（1）当t=0时，求该不等式的解；（2）若该不等式有解，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）关于x的不等式log2（﹣2x2+3x+t）＜0，当t=0时，不等式为log2（﹣2x2+3x）＜0，即0＜﹣2x2+3x＜1，等价于＜＞，解得＜＜＜或＞，即0＜x＜或1＜x＜；∴不等式的解集为（0，）∪（1，）；（2）不等式log2（﹣2x2+3x+t）＜0有解，∴0＜﹣2x2+3x+t＜1，化为2x2﹣3x＜t＜2x2﹣3x+1；设f（x）=2x2﹣3x，x∈R，∴f（x）min=f（）=﹣，且f（x）无最大值；∴实数t的取值范围是（﹣，+∞）．15．（2017春•张家口期中）设关于x的不等式x2﹣（b+2）x+c＜0的解集为{x|2＜x＜3}．（1）设不等式bx2﹣（c+1）x﹣c＞0的解集为A，集合B=[﹣2，2），求A∩B；（2）若x＞1，求的最小值．【解答】解：关于x的不等式x2﹣（b+2）x+c＜0的解集为{x|2＜x＜3}∴，解得；（1）不等式bx2﹣（c+1）x﹣c＞0可化为3x2﹣7x﹣6＞0，由3x2﹣7x﹣6＞0解得＜或x＞3，即，，；又B=[﹣2，2），∴，；（2）∵x＞1，∴x﹣1＞0，则==，当且仅当x=3时等号成立，即的最小值为3．16．（2016秋•济南期末）已知a＞0，a≠1且log a3＞log a2，若函数f（x）=logax 在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1．（1）判断函数g（x）=1﹣的奇偶性；（2）解不等式log（x﹣1）＞log（a﹣x）．【解答】解：（1）∵a＞0，a≠1且log a3＞log a2，∴a＞1，又∵函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1，∴log a2a﹣log a a=1，即log a2=1，解得a=2；∵函数g（x）的定义域为R，且g（x）=1﹣=1﹣=，∴g（﹣x）===﹣=﹣g（x），∴g（x）是定义域R上的奇函数；（2）不等式log（x﹣1）＞log（a﹣x），＜，∴＞解得1＜x＜，故所求不等式的解集为（1，）。