2020年北京市七年级下期末数学备考之新定义
一．填空题（共1小题）
1．若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，因为5＝22+12，所以5是一个“完美数”．
（1）请你再写一个大于10且小于20的“完美数”；
（2）已知M是一个“完美数”，且M＝x2+4xy+5y2﹣12y+k（x，y是两个任意整数，k是常数），则k的值为．
二．解答题（共19小题）
2．（1）阅读下列材料并填空：
对于二元一次方程组，我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数
表，求得的一次方程组的解，用数表可表示为．用数表可以简化表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：
从而得到该方程组的解为x＝，y＝．
（2）仿照（1）中数表的书写格式写出解方程组的过程．
3．如果A，B都是由几个不同整数构成的集合，由属于A又属于B的所有整数构成的集合叫做A，B的交集，记作A∩B．例如：
若A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则A∩B＝{3}；
若A＝{0，﹣62，37，2}，B＝{2，﹣1，37，﹣5，0，19}，则A∩B＝{37，0，2}．（1）已知C＝{4，3}，D＝{4，5，6}，则C∩D＝{}；
（2）已知E＝{1，m，2}，F＝{6，7}，且E∩F＝{m}，则m＝；
（3）已知P＝{2m+1，2m﹣1}，Q＝{n，n+2，n+4}，且P∩Q＝{m，n}，如果关于x的不等式组，恰好有2019个整数解，求a的取值范围．
4．在平面直角坐标系xOy中，对于给定的两点P，Q，若存在点M，使得△MPQ的面积等＝1，则称点M为线段PQ的“单位面积点”，解答下列问题：于1，即S
△MPQ
如图，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（1，0）
（1）在点A（1，2）B（﹣1，1）C（﹣1，﹣2），D（2，﹣4）中，线段OP的“单位面积点”是；
（2）已知点E（0，3），F（0，4），将线段OP沿y轴向上平移t（t＞0）个单位长度，使得线段EF上存在线段OP的“单位面积点”，求t的取值范围；
（3）知点Q（1，﹣2），H（0，﹣1），点M，N是线段PQ的两个“单位面积点”，点M
＝S△PQN，直接写出点N纵坐标的取值范围．在HQ的延长线上，若S
△HMN
5．对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点P，给出如下定义：将图形G沿上、下、左、右四个方向中的任意一个方向平移一次，平移距离小于或者等于1个单位长度，平移后的图形记为G'，若点P在图形G'上，则称点P为图形G的稳定点．例如，当图形G为点（﹣2，3）时，点M（﹣1，3），N（﹣2，3.5）都是图形G的稳定点．
（1）已知点A（﹣1，0），B（2，0）．
①在点P1（﹣2，0），P2（4，0），P3（1，），P4（，﹣）中，线段AB的稳定点
是．
②若将线段AB向上平移t个单位长度，使得点E（0，1）或者点F（0，5）为线段AB
的稳定点，写出t的取值范围．
（2）边长为a的正方形，一个顶点是原点O，相邻两边分别在x轴、y轴的正半轴上，这个正方形及其内部记为图形G．若以（0，2），（4，0）为端点的线段上的所有点都是这个图形G的稳定点，直接写出a的最小值．
6．在△ABC中，定义∠A的平分线所在直线与∠B的外角平分线所在直线所夹的锐角∠APB 为∠C的伴随角．
（1）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，则∠C的伴随角∠APB的度数为°；
（2）小明试图探究任意△ABC中∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系，于是他动手画了∠C分别为直角、锐角、钝角的三个图如下，先通过测量相关角度后猜想结论，然后再证明．
请你根据以上三个图，测量相关角度，补全表格：
图2图3图4
∠C的度数90°
∠C的伴随角∠APB的度
数
根据表格，小明得到了∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系的猜想：；
（3）请你选择∠C是锐角或钝角的情况，画出图形，帮小明证明他的猜想．
7．对于平面直角坐标系xOy中的点A，给出如下定义：若存在点B（不与点A重合，且直线AB不与坐标轴平行或重合），过点A作直线m∥x轴，过点B作直线n∥y轴，直线m，n相交于点C．当线段AC，BC的长度相等时，称点B为点A的等距点，称三角形ABC 的面积为点A的等距面积．例如：如图，点A（2，1），点B（5，4），因为AC＝BC＝3，所以B为点A的等距点，此时点A的等距面积为．
（1）点A的坐标是（0，1），在点B1（﹣1，0），B2（2，3），B3（﹣1，﹣1）中，点A 的等距点为．
（2）点A的坐标是（﹣3，1），点A的等距点B在第三象限，
①若点B的坐标是（﹣），求此时点A的等距面积；
②若点A的等距面积不小于，求此时点B的横坐标t的取值范围．
8．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
例如：方程2x﹣6＝0的解为x＝3，不等式组的解集为2＜x＜5，因为2＜3＜5，所以，称方程2x﹣6＝0为不等式组的关联方程．
（1）在方程①5x﹣2＝0，②x+1＝0，③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组
的关联方程是；（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是；（写出一个即可）
（3）若方程2x﹣1＝x+2，3+x＝2（x+）都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围．
9．阅读下面材料：
小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：
如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式|x|＞3的解集．
小明同学的思路如下：
先根据绝对值的定义，求出|x|恰好是3时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示．观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：
点A左边的点表示的数的绝对值大于3；
点A，B之间的点表示的数的绝对值小于3；
点B右边的点表示的数的绝对值大于3．
因此，小明得出结论绝对值不等式|x|＞3的解集为：x＜﹣3或x＞3．
参照小明的思路，解决下列问题：
（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集．
①|x|＞1的解集是．②|x|＜2.5的解集是．
（2）求绝对值不等式2|x﹣3|+5＞13的解集．
（3）直接写出不等式x2＞4的解集是．
10．对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k 为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”．
例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）．
（1）点P（﹣1，6）的“2属派生点”P′的坐标为；
（2）若点P的“3属派生点”P′的坐标为（6，2），则点P的坐标；
（3）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长度的2倍，求k的值．
11．对于有理数a，b，定义min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a．
例如：min{1，﹣2}＝﹣2，min{﹣3，﹣3}＝﹣3．
（1）min{﹣1，2}＝；
（2）求min{x2+1，0}；
（3）已知min{﹣2k+5，﹣1}＝﹣1，求k的取值范围；
（4）已知min{5，2m﹣4n﹣m2﹣n2}＝5．直接写出m，n的值．
12．如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
（1）在方程①3x﹣1＝0，②x+1＝0，③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组
的关联方程是；（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是；（写出一个即可）
（3）若方程3﹣x＝2x，3+x＝2（x+）都是关于x的不等式组的关联方程，直接写出m的取值范围．
13．阅读理解：
善于思考的小聪在解方程组时，发现方程组①和②之间存在一定关系，
他的解法如下：
解：将方程②变形为：2x﹣3y﹣2y＝5③．
把方程①代入方程③得：3﹣2y＝5，
解得y＝﹣1．
把y＝﹣1代入方程①得x＝0．
∴原方程组的解为．
小聪的这种解法叫“整体换元”法．请用“整体换元”法完成下列问题：
（1）解方程组：；
①把方程①代入方程②，则方程②变为；
②原方程组的解为．
（2）解方程组：．。