解析 A⊆B⇔a>4，而a>5⇒a>4，且a>4⇏a>5， 所以“a>5”是“A⊆B”的充分不必要条件.
(2)“不等式x2－2x＋m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是
A.m≥1
B.m≤1
C.m≥0
√D.m≥2
解析 “不等式x2－2x＋m≥0在R上恒成立”的充要条件为：“(－2)2－4m≤0”即 “m≥1”， 又“m≥2”是“m≥1”的充分不必要条件， 即“不等式x2－2x＋m≥0在R上恒成立”的一个充分不必要条件是“m≥2”， 故选D.
解析 命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则m≠－(x2－2x)， ∵－(x2－2x)＝－(x－1)2＋1≤1， ∴m>1. ∴实数m的取值范围是{m|m>1}. 故选B.
反思 感悟
全称量词命题、存在量词命题真假判断
(1)全称量词命题的真假判定：要判定一个全称量词命题为真，必须对限
定集合M中每一个x验证p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判
第一章 集合与常用逻辑用语
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识网络 考点突破 随堂演练
1 知识网络
PART ONE
2 考点突破
PART TWO
一、集合的综合运算
1.集合的运算有交、并、补这三种常见的运算，它是集合中的核心内容.在进行集合 的运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错，此时，数轴分析(或Venn 图)是个好帮手，能将复杂问题直观化.在具体应用时要注意检验端点值是否适合题 意，以免增解或漏解. 2.掌握集合的基本关系与基本运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养.
例1 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}. (1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围；
解 ∵A＝{x|0≤x≤2}， ∴∁RA＝{x|x<0或x>2}. ∵(∁RA)∪B＝R， ∴aa≤ ＋03， ≥2， ∴－1≤a≤0. 所以a的取值范围为{a|－1≤a≤0}.
(2)是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？
∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，A∩B＝{x|－2<x<3}， ∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}， (∁UA)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}.
二、充分条件、必要条件与充要条件
1.若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件； 若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件. 2.掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养.
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反思
感悟 在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由 q能否推出p，不能顾此失彼.
跟 踪 训 练 2 (1) 已 知 集 合 A ＝ {x| － 4≤x≤4 ， x∈R} ， B ＝ {x|x<a} ， 则 “a>5” 是
“A⊆B”的
√A.充分不必要条件
C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
三、全称量词命题与存在量词命题
1.全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词 命题.首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把 判断词加以否定. 2.通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数范围等，培养逻辑推理和数 学运算素养.
例3 (1) 命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是 A.∃x∈R，x2－2x＋1≤0 B.∃x∈R，x2－2x＋1≥0
√C.∀m，n∈Z，使得m2≠n2＋2 019
D.以上都不对
(2)设命题p：∀x∈R，x2＋ax＋2<0，若綈p为真，则实数a的取值范围是__R__.
解析 綈p：∃x∈R，x2＋ax＋2≥0为真命题， 显然a∈R.
3 随堂演练
PART THREE
1.设全集U＝R，集合A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|x＋1≥0}，则∁U(A∪B)等于
√A.{a|a≥2}
B.{a|a≤1}
C.{a|a≥1}
D.{a|a≤2}
解析 如图
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4.已知集合A＝{1,3,2－m}，集合B＝{3，m2}，则“B⊆A”的充要条件是实数m＝ ___－__2___.
解析 若B⊆A， 则m2＝1或m2＝2－m， 得m＝1或m＝－1，或m＝－2， 当m＝1时，A＝{1,3,1}不成立， 当m＝－1时，A＝{1,3,3}不成立， 当m＝－2时，A＝{1,3,4}，B＝{3,4}，满足条件. 即m＝－2， 则“B⊆A”的充要条件是实数m＝－2.
√C.所有菱形的四条边都相等
D.π是无理数
解析 对A，是全称量词命题，但不是真命题；故A不正确； 对B，是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确； 对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确； 对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确，故选C.
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3.设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，满足A B，则实数a的取值范围是
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本课结束
√C.∃x∈R，x2－2x＋1<0
D.∀x∈R，x2－2x＋1<0
解析 ∵命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”为全称量词命题， ∴命题的否定为：∃x∈R，x2－2x＋1<0， 故选C.
(2)若命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则实数m的取值范围是
A.m≥1
√B.m>1
பைடு நூலகம்
C.m<1
D.m≤1
例2 设p：实数x满足A＝{x|x≤3a，或x≥a(a<0)}. q：实数x满足B＝{x|－4≤x<－2}.且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
解 ∵q是p的充分不必要条件. ∴B A，
∴a≤－4， a<0
或3aa<≥0，－2，
解得－23≤a<0 或 a≤－4.
所以 a 的范围为a－23≤a<0，或a≤－4
定一个全称量词命题为假，只需举出一个反例即可.
(2)存在量词命题的真假判定：要判定一个存在量词命题为真，只要在限
定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题为假.
跟踪训练3 (1)∃m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 019的否定是
A.∀m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 019
B.∃m，n∈Z，使得m2≠n2＋2 019
A.{x|x≤－3或x≥1} C.{x|x≤3}
B.{x|x<－1或x≥3}
√D.{x|x≤－3}
解析 A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|x≥－1}， 所以A∪B＝{x|x>－3}，∁U(A∪B)＝{x|x≤－3}，故选D.
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2.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是 A.∀x∈R，x2＋2x＋1>0 B.∃x∈N,2x为偶数
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5.已知集合A＝{2,0,1,9}，B＝{k|k∈R，k2－2∈A，k－2∉A}，则集合B中所有的元素 之和为__－__2____.
解析 若k2－2＝2，则k＝2或k＝－2， 当k＝2时，k－2＝0，不满足条件， 当k＝－2时，k－2＝－4，满足条件； 若 k2－2＝0，则 k＝± 2，显然满足条件； 若 k2－2＝1，则 k＝± 3，显然满足条件； 若 k2－2＝9，得 k＝± 11，显然满足条件. 所以集合 B 中的元素为－2，± 2，± 3，± 11， 所以集合B中的所有元素之和为－2.
解 由(1)知(∁RA)∪B＝R时， －1≤a≤0，而2≤a＋3≤3， ∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾. 即这样的a不存在.
反思
感悟 借助数轴表达集合间的关系可以更直观，但操作时要规范，如区间端点 的顺序、虚实不能标反.
跟踪训练1 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，集合B＝{x|－3<x≤3}， 求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B. 解 把集合U及集合A，B分别在数轴上表示出来. 如图，