知识点——集合与常用逻辑用语
【知识梳理】
一、集合及其运算
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集
符号N N*(或N＋)Z Q R 2.集合间的基本关系
关系自然语言符号语言Venn图
子集集合A中所有元素都在集合B中(即若
x∈A，则x∈B)
A⊆B
(或B⊇A)
真子集集合A是集合B的子集，且集合B中
至少有一个元素不在集合A中
A⊊B
(或B⊋A)
集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B
互为子集
A＝B
3.集合的基本运算
运算自然语言符号语言Venn图
交集由属于集合A且属于集合B
的所有元素组成的集合
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集由所有属于集合A或属于集
合B的元素组成的集合
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
补集由全集U中不属于集合A的
所有元素组成的集合
∁U A＝{x|x∈U且x∉A}
【知识拓展】
1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.
3．A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A.
二、命题及其关系、充分条件与必要条件
1．四种命题及相互关系
2．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件
(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件； (2)如果p ⇒q ，但q
p ，则p 是q 的充分不必要条件；
(3)如果p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件； (4)如果q ⇒p ，且p q ，则p 是q 的必要不充分条件； (5)如果p q ，且q
p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
【知识拓展】
1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性． 2．若A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则 (1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； (2)若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件； (4)若A ⊊B ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若A ⊋B ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若A B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
【易错提醒】
1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x |y ＝lg x }——函数的定义域；{y |y ＝lg x }——函数的值域；{(x ，y )|y ＝lg x }——函数图象上的点集．
2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}．
3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性． 4．空集是任何集合的子集．由条件A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 求解集合A 时，务必分析研究A ＝∅的情况． 5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p ，则q ”，则该命题的否定为“若p ，则q ⌝”，其否命题为“若p ⌝，则q ⌝”．
6．对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论．
【必会习题】
1．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()
A．0或 3 B．0或3 C．1或 3 D．1或3
答案 B
解析∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴m∈{1,3，m}，∴m＝1或m＝3或m＝m，
由集合中元素的互异性易知m＝0或m＝3.
2．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是()
A．{a|a≥2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}
答案 A
解析若A⊆B，则a≥2，故选A.
3．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于()
A．{x|－3<x<5} B．{x|－5<x<5} C．{x|x<－5或x>－3} D．{x|x<－3或x>5} 答案 C
解析在数轴上表示集合M、N，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}，故选C.
4．满足条件{a}⊆A⊆{a，b，c}的所有集合A的个数是()
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 D
解析满足题意的集合A可以为{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}，共4个．
5．已知集合U＝R(R是实数集)，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∪(∁U B)等于() A．[－1,0] B．[1,2] C．[0,1] D．(－∞，1]∪[2，＋∞)
答案 D
解析B＝{x|x2－2x<0}＝(0,2)，
A∪(∁U B)＝[－1,1]∪(－∞，0]∪[2，＋∞)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，故选D.
6．“x<0”是“ln(x＋1)<0”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析ln(x＋1)<0，解得0<x＋1<1，
∴－1<x<0，所以“x<0”是“－1<x<0”的必要不充分条件．
7．给出以下四个命题： ①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0； ②若a >b ，则am 2>bm 2；
③在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；
④在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根． 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 C
8．设U 为全集，对集合A ，B 定义运算“*”，A *B ＝∁U (A ∩B )，若X ，Y ，Z 为三个集合，则(X *Y )*Z 等于( )
A ．(X ∪Y )∩∁U Z
B ．(X ∩Y )∪∁U Z
C ．(∁U X ∪∁U Y )∩Z
D ．(∁U X ∩∁U Y )∪Z 答案 B
解析 ∵X *Y ＝∁U (X ∩Y )，∴对于任意集合X ，Y ，Z ， ( X *Y )*Z ＝∁U (X ∩Y )*Z ＝∁U [∁U (X ∩Y )∩Z ]＝(X ∩Y )∪∁U Z .
9．已知M 是不等式ax ＋10ax －25≤0的解集且5∉M ，则a 的取值范围是________________．
答案 (－∞，－2)∪[5，＋∞) 解析 若5∈M ，则5a ＋10
5a －25≤0，
∴(a ＋2)(a －5)≤0且a ≠5，∴－2≤a ＜5， ∴5∉M 时，a <－2或a ≥5.
10．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－4]
解析 由命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，得x <－4或x >2，
由命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0，得(x －3a )(x －a )<0，∵a <0，∴3a <x <a ， ∵q 是p 的必要不充分条件，∴a ≤－4，∴a ∈(－∞，－4]．
11．已知命题p ：⎪⎪⎪⎪
1－x ＋12≤1，命题q ：x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m
的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)
解析 ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪
1－x ＋12≤1⇔－1≤x ＋12－1≤1⇔0≤x ＋12≤2⇔－1≤x ≤3，∴p ：－1≤x ≤3；
∵x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]<0⇔1－m <x <1＋m ，∴q ：1－m <x <1＋m . ∵p 是q 的充分不必要条件，
∴[－1,3]是(1－m,1＋m )的真子集，则⎩
⎪⎨⎪⎧
1－m <－1，
1＋m >3，解得m >2.。