P(x) n(x) 2
n1 n 10
n2 n 20
En
(n 1) 2
E0 0
E0
1 2
[电磁场量子化理论获得的结果是 En (n 1 2) 不是Planck假设的 En n ]
旧量子论中没有零点能的概念，这是由量子力 学给出的新结果。但可以理解，零点能的存在是为 遵守不确定关系必须的最小能量。
如果最小能量为零，则意味着粒子完全静止， 即 r 0 ; p 0 ，不确定关系破坏。
Shrödinger方程的应用（2）：一维谐振子
1.势能函数
在经典力学中，只要某一个实体在其稳定平衡 点附近作微小振动，便可以用简谐振子模型来描述
它，振子的振动频率为ω 。若振子离开平衡位置位
移了x0 后作简谐振，总能量 E 正比于 x02 。 若选取振动的平衡位置为坐标原点，并选取其
为势能的零点，则振动的势能函数为
U
(x)
1 2
kx 2
1 2
m 2 x2
m — 振子质量
ω— 固有频率
x — 位移
分子中的原子或晶格点阵上的原子都可以近似 地看作处于以平衡位置为中心的弹性力场中。
例如：双原子分子中两原子
间的势能 U是其间距 r 的函数。
在稳定平衡点r = r0 处，势能有 一极小值U0。在这点附近，U(r)
r0
光被晶体散射的实验证实了零点能的存在。
光被晶体散射是由于晶体中原子的振动。按量 子力学以前的理论，当温度趋向于绝对零度时，原 子能量趋于零，即原子趋于静止，这时就不会引起 光的散射。
实验结果是，温度趋向于绝对零度时，散射光 的强度趋向于某一不为零的极限值。
可见，即使在绝对零度，原子仍有零点振动。
此外，引起表面张力、吸附作用等现象的分子 间的范德瓦尔斯力，也只有用零点能才能得到很好 的解释。
H ( ) ck k , k0
Байду номын сангаас
ck 2
2k ( 1)
(k 2)(k 1)
ck
给定两个任意常数c0和c1 ，就可获得两个独立解。
函数 H( ) 能表达成级数形式，要求此级数必
须能收敛。可是，当 k 时，ck2 / ck ~ 2 / k ，即
所得的 H( )会与exp( 2 ) 2k / k ! 的相邻系数比
3.能量量子化
由 2E
及 2n 1 n 0,1,2,
得线性谐振子的能量[本征值]为
En
(n 1 ),
2
n 0,1,2,
讨论
①量子线性谐振子的能量只能取分立值
②相邻能级差均匀 En1 En
③存在零点能(基态能量)：
E0
1 2
零点能
普朗克量子化假设 En n
量子力学结果
(
x)
2m
2
(E
1 2
m
2
x
2
)(
x)
0
引入无量纲变量 x x0
d2
d 2
2m
x02
2
E
m x02
2
2
0
选择
x0
,
m
记
2mx02 E
2
2E
则
d2
d 2
(
)
(
2
)(
)
0
求解此变系数二阶常微分方程，就可获得波函数。
d 2
d 2
(
2
)
0
考察波函数(在) 时的渐近行为，发现它在 时很接近 或 。注意到e波 2函2 数的e标 2准2 条件（概
4. 一维线性谐振子的波函数
回到变系数二阶常微分方程
d 2
d 2
(
2
)
0
对应不同的 2n 1 ，方程有不同的解 Hn( ) Hn( ) 称为厄米多项式，可用下式表示
Hn( )
(1)n e 2
dn
d n
e 2
递推关系
dH n ( d
)
2nH n1 (
)
Hn1( ) 2 Hn( ) 2nHn1( ) 0
可以展成( r -r0 )的幂级数。
由于 U (r) 0 ，
r rr0
U(r)
U0
k 2
(r
r0 )2
这正是线性谐振子的势能形式。
在经典物理中，由于谐振子的位移 x 是任意 的，因此谐振子的能量E 可以具有任意连续值。
量子力学对原子的振动又是如何描述的呢？
2. 一维谐振子的定态薛定谔方程
d2 dx 2
相同，这样得到的
k0
( ) H ( )e 2 2 ~ e e 2 2 2 e 2 2
在 时仍然会是发散的，除非----
1 2n, n 0,1,2,
这样，在某n项之后的ck都为0，即 H( ) 截断为一个 多项式 Hn( ) --称为Hermite多项式。 也就是说，只有当 2n 1 时原方程才有合理解。
所以最终解，即对应于能量En的波函数为
2 x2
n( x) NnHn( x)e 2
其中
m
Nn (
)1 2 2n n!
─ 归一化常数
对这个结果，我们通过计算机作图来了解它的特征
n0 n2
n1 n3
同样能量的经典谐振子，其运动范围由红线表示。
在经典力学中，一个谐振子在x→x + dx 的区域
率密度必须有限），只会是
( ) e 2 2 . 故此将波函数写成如下形式 ( ) H ( )e 2 2
于是 H( ) 应满足方程
d2H
d 2
2
dH
d
(
1)H
0
-- Hermite 方程
此方程可以采用级数法求解， H ( ) ck k
系数ck满足的递推关系
k0
2k ( 1)
ck2 (k 2)(k 1) ck
内找到质点的概率P(x)dx 与质点在此区间逗留的时
间成dt 正比
P( x)dx dt T
相应的概率密度为 P( x) 1 1 Tdx / dt Tv
对于经典谐振子 x Acos(t )
v
Asin(t
)
A(1
x2 A2
)
1 2
所以
x2 1 P( x) (1 A2 ) 2
按量子力学，粒子出现的概率密度为