6
（2）等边角钢∟45×6
z
y
45 6
y
z 45
(b)
28
Imin,2 38I z 3.89cm4 3.89104 mm4
(c)
图11.4
Fcr,2
2EI
l2
2 200103 MPa (3.89104 mm4 ) /1 0002 mm2
F cr
l/2
O
y 0
O
y
0
(a)
(b)
(b)
图11.2
§ 11—1 压杆稳定的概念
二、分叉点失稳和极值点失稳
2、极值点失稳
➢ FJ ——极值点荷载（GJK曲线顶 点所对应的荷载）
F
F
F
不稳定
FQ y
0
l/2
B'
B
A
稳定
D
C
E
A
JK
FD F cr FJ
F cr
l/2
G
O
y 0
O
y
0
(a)
(b)
(b)
第十一章
压杆稳定
内容提要
§ 11-1 § 11-2 § 11-3 § 11-4 § 11-5 § 11-6
压杆稳定的概念 两端铰支细长压杆的临界力 杆端约束的影响 临界应力曲线 压杆的稳定计算 提高压杆稳定性的措施
§ 11—1 压杆稳定的概念 一、理想压杆的稳定性
理想压杆——满足“轴心受压、均质、等截面直杆”假定 的一种抽象化的理想模型。
3、两端铰支压杆临界平衡时的挠曲线为一半波正 弦曲线
例11.1 用三号钢制成的细长杆件，长1m，截面是 8mm×20mm的矩形，两端为铰支座。材料的屈服极限 为 s 240 MPa，弹性模量E 210GPa ，试按强度观点和 稳定性观点分别计算其屈服荷载FS及临界荷载FCR，并 加以比较。
Fs As 820 mm2240MPa 38.4kN
代入方程得：
B=0
0 Asin kl
因为A不等于零（否则与微弯状态 相矛盾）
l
sin kl 0
kl n n 0,1,2,, n
k 2 n2 2
l2
n 0,1,2,, n
x
F cr
A
mm y x
B
F y cr
§ 11—2 两端铰支细长压杆的临界力 一、公式推导
F cr 2 k EI
k2
的位移为 y (x) 该截面的弯矩为
M (x) F cr yx
F cr
M (x) F cr yx
m
m
x
B
F cr
y
杆的挠曲线近似微分方程为
EIy" M (x) F cr yx
§ 11—2 两端铰支细长压杆的临界力 y
一、公式推导
F EIy" M (x) y cr
F cr
F M (x) y cr
是临界平衡或中性平衡，此时压杆上所作用的外力称为压杆的 临界力或临界荷载，用Fcr表示。
§ 11—1 压杆稳定的概念
二、分叉点失稳和极值点失稳
1、分叉点失稳
F
➢A点称为分叉点，Fcr又称为分叉点 荷载。OAC曲线所描写的失稳模型也 称为分叉点失稳。
F
F
不稳定
l/2
FQ y
0
B'
B
A
稳定
D
C
E
A
FD F cr
➢在无扰动（如微小横向干扰力）时，
F
理想压杆将只产生轴向压缩变形，而
且保持直线状态的平衡；
➢有微小横向干扰力时，理想压杆将
产生弯曲变形
FQ
FQ
l
➢其平衡状态有稳定和不稳定之分。
F FQ
F较小
F
(a)
F较小
(b)
当 F较小时，撤去横向干扰力FQ后，杆的轴线 将恢复其原来的直线平衡状态（图 b），则压杆在
m
m
F 令
cr 2
k EI
则有二阶常系数线性微分方程
x
B
F cr
y
y" k2 y 0
其通解为
y Asin kx B cos kx
A，B为待定常数，由该挠曲线的边界条件确定。
§ 11—2 两端铰支细长压杆的临界力 一、公式推导
y Asin kx B cos kx
边界条件： x = 0，y = 0 x = l ，y = 0
10
45 6
6
y z
z y
y
50 28
y
z 45
38
(a)
(b)
(c)
图11.4
例11.2 两端铰支的中心受压细长压杆，长1m，材料的 弹性模量E＝200GPa，考虑采用三种不同截面，如图 11.4所示。试比较这三种截面的压杆的稳定性。
解 （1）矩形截面
10
45 6
y
6
I min,1 I z
z
1 50 mm103 12
I min
1 2083 12
mm 4
853.3 mm 4
Fcr
2EI
l2
2 210 103 MPa853.3 mm 4
1 0002 mm 2
1.768 kN
Fcr : Fs 1.768 : 38.4 1: 21.72
例11.2 两端铰支的中心受压细长压杆，长1m，材料的 弹性模量E＝200GPa，考虑采用三种不同截面，如图 11.4所示。试比较这三种截面的压杆的稳定性。
n2 2
l2
n 0,1,2,, n
所以
Fcr
k 2 EI
n2 2 EI
l2
n 0,1,2,, n
n=0时Fcr＝0，矛盾，所以n取使Fcr不为零的最小值，即
n=1
Fcr
2 EI
l2
——欧拉公式
§ 11—2 两端铰支细长压杆的临界力 一、公式推导
Fcr
2 EI
l2
——欧拉公式
注意：
1、此公式是两端铰支压杆的临界力计算公式； 2、当压杆端部各个方向的约束相同时，I取为压杆 横截面的最小形心主惯性矩。
图11.2
§ 11—2 两端铰支细长压杆的临界力 一、公式推导
长为 l 的理想细长压杆，两端球形绞支，在临界力作用下处于 微弯平衡状态时
x
F cr
y(x)
A
F cr
l
mm
M (x) F cr yx
m
m
y x
B
x
B
F y cr
F cr
y
§ 11—2 两端铰支细长压杆的临界力 y(x)
一、公式推导 压杆任一 x 截面沿 y 方向
mm 3
z
4 166.6 mm 4y
y
50
Fcr,1
2Ey I l2
z 45
28 38
(a)
2
200
10
3(Mb) Pa
4
166.6
mm
4
Hale Waihona Puke /1(c)
000
2
mm
2
图11.4
8.255kN
例11.2 两端铰支的中心受压细长压杆，长1m，材料的 弹性模量E＝200GPa，考虑采用三种不同截面，如图 11.4所示。试比较这三种截面的压杆的稳定性。
直线形态下的平衡是 稳定平衡。
F FQ
F较小
F较大
F
F较小
F较大
(a)
(b)
(c)
当 F较大时，撤去横向力FQ后，压杆继续弯曲到 一个变形更显著的位置而平衡，则压杆在直线状态的
平衡是不稳定的。
F FQ
F较小
F较大
F Fcr
F
F较小
F较大
F Fcr
(a)
(b)
(c)
(d)
临界状态：当轴力F达到一定数值时，施加干扰力FQ后压杆将 在一个微弯状态保持平衡，而FQ去除后压杆既不能回到原来的 直线平衡状态，弯曲变形也不增大。则压杆在直线状态的平衡