(2)(2017届福建连城县二中期中)已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，
且a∥b，则2a＋3b等于
A.(－5，－10) C.(－3，－6)
√B.(－4，－8)
D.(－2，－4)
解析 因为a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b， 所以m＋4＝0，m＝－4，2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)， 故选B.
思维升华 对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面 向量基本定理的灵活运用.
思维升华 解析 5 答案
(2)(2017 届湖南师大附中月考)O 为△ABC 内一点，且 2O→A＋O→B＋O→C＝0，
A→D＝tA→C，若 B，O，D 三点共线，则 t 的值为
√A.13
1 B.4
1 C.2
A.2 2
√B. 17
C. 15
D.2 5
解析 向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝( 3， 2)，
可得|a－b|2＝5，即|a|2＋|b|2－2a·b＝5，解得a·b＝0. |a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋16＝17，
所以|a＋2b|＝ 17.故选 B.
思维升华 可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和
思维升华 23 解答
跟踪演练3 已知平面向量a＝(sin x，cos x)，b＝(sin x，－cos x)，c＝ (－cos x，－sin x)，x∈R，函数f(x)＝a·(b－c). (1)求函数f(x)的单调递减区间；
25 解答
(2)若 f α2＝ 22，求 sin α 的值.
12
例 2 (1)(2017 届湖北省部分重点中学联考)若等边△ABC 的边长为 3，平
面内一点 M 满足C→M＝13C→B＋12C→A，则A→M·M→B的值为
√A.2
B.－125
15 C. 2
解析 因为A→M＝C→M－C→A，M→B＝C→B－C→M，
D. －2
则A→M·M→B＝13C→B－12C→A23C→B－12x.
若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾， 故cos x≠0. 于是 tan x＝－ 33. 又 x∈[0，π]，所以 x＝56π.
22 解答
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 解 f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－ 3)＝3cos x－ 3sin x＝2 3cosx＋π6. 因为 x∈[0，π]，所以 x＋π6∈π6，76π， 从而－1≤cosx＋π6≤ 23， 于是，当 x＋π6＝π6，即 x＝0 时，f(x)取得最大值 3； 当 x＋π6＝π，即 x＝56π时，f(x)取得最小值－2 3.
即A→M·M→B＝29C→B2－12C→A·C→B＋14C→A2＝2－94＋94＝2，故选 A.
思维升华 数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，
数量积的几何意义.
思维升华 解析 13 答案
(2)(2017 届河北省衡水中学六调)已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a－b
＝( 3， 2)，则|a＋2b|等于
夹角已知的向量进行计算.
思维升华 解析 14 答案
跟踪演练 2 (1)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为
平面 ABC 内一点，则P→A·(P→B＋P→C)的最小值是
A.－2
√B.－32
C.－43
D.－1
解析 15 答案
(2)(2017 届湖北重点中学联考)已知向量 a，b 满足|a|＝2，|b|＝1，a 与 b 的 夹角为23π，则|a＋2b|＝__2__. 解析 因为|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝23π， 故a·b＝2cos〈a，b〉＝－1， 则(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4－4＋4＝4，即|a＋2b|＝2.
解析 20 答案
热点三 平面向量与三角函数 平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”， 高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件.
21
例3 (2017·江苏)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3 )，x∈[0，π]. (1)若a∥b，求x的值； 解 因为 a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ 3)，a∥b，
专题三 三角函数、解三角形与平面向量
第3讲 平面向量
1
热点分类突破 真题押题精练
2
Ⅰ
热点分类突破
3
热点一 平面向量的线性运算 1.在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变 形要有方向不能盲目转化. 2.在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向 量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时， 要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量.
2 D.3
思维升华 运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系.
思维升华 解析 7 答案
跟踪演练 1 (1)(2017·河北省衡水中学三调)在△ABC 中，A→N＝14N→C，P 是直
线 BN 上的一点，若A→P＝mA→B＋25A→C，则实数 m 的值为
A.－4
√B.－1
C.1
D.4
解析 9 答案
4
例 1 (1)(2017 届河南息县第一高级中学检测)已知平行四边形 ABCD 的对角
线分别为 AC，BD，且A→E＝2E→C，点 F 是 BD 上靠近 D 的四等分点，则
A.F→E＝－112A→B－152A→D
B.F→E＝112A→B－152A→D
√C.F→E＝152A→B－112A→D
D.F→E＝－152A→B－112A→D
解析 11 答案
热点二 平面向量的数量积 1.数量积的定义：a·b＝|a||b|cos θ. 2.三个结论 (1)若 a＝(x，y)，则|a|＝ a·a＝ x2＋y2. (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|A→B|＝ x2－x12＋y2－y12. (3)若非零向量 a＝(x1，y1)，非零向量 b＝(x2，y2)，θ 为 a 与 b 的夹角， 则 cos θ＝|aa|·|bb|＝ x21x＋1x2y＋21 yx122y＋2 y22.